Matematické Fórum

SagiCZ · 20. 07. 2011 23:18 — Editoval SagiCZ (21. 07. 2011 00:32)

Ahoj, mám problém vyřešit jeden příklad z učebnice, snad by mohl někdo pomoci.

Ke kondenzátoru o kapacitě $1 \mu F$ nabitém na napětí 50V a odpojenému od zdroje připojíme paralelně jiný kondenzátor o kapacitě $4 \mu F$ . Jak se změní napětí na první kondenzátoru? Jak se změní celková elektrická energie soustavy?

Příklad mě upoutal proto, že nechápu jak by se mohla změnit energie soustavy a kam se ta energie poděla. Přistupoval jsem k tomu tak, že celkový náboj nikam neuteče, takže náboj $Q=1\cdot10^{-6}\cdot50$ se musí rozdělit mezi oba kondenzátory. Jenže v jakém poměru? A proč? Bude napětí na obou kondenzátorech stejné? A proč? Vím, že to je asi primitivní, ale už se to snažím vyřešit dlouho a nějak to nejde. Dík za pomoc.

Prosil bych co nejfyzikálnější vysvětlení :)

rughar · 21. 07. 2011 09:35 — Editoval rughar (21. 07. 2011 09:40)

Napětí stejné nezůstane. Kondenzátor sám o sobě vždy vybudí napětí U lineárně úměrné náboji Q podle vztahu

$U = \frac{Q}{C}$

C je konstanta úměry (kapacita kondenzátoru). Když jsou kondenzátory dva, náboje se vskutku rozdělí a rozdělí se tak, aby měli oba stejné napětí. Důvod je prostý. Dokud mají takové náboje, že je na nich napětí různé, tak náboj poteče z více nabitého do méně nabitého kondenzátoru, dokud nedojde k jisté rovnováze, kde budou napětí nutně stejná. Tedy bude platit

$\frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2}$

Na dvě neznámé Q1 a Q2 ještě požijeme rovnici Q = Q1 + Q2, protože se zachovává jistě celkový náboj. Po tomto výpočtu si pak lze všimnout, že celková energie

$E = \frac{Q_1^2}{2C_1}+\frac{Q_2^2}{2C_2}$

bude po zapojení jiná. Cože se tedy v kondenzátorech bude dít? Při připojení druhého nenabitého kondenzátoru bude připojena najednou součástka na jisté napětí a poteče jí proud. V ideálním případě nemá žádný odpor ani indukčnost a tak dojde v podstatě ke zkratu. Je potřeba vždy uvažovat reálně alespoň minimální R či L. Čím nižší bude odpor vodičů, tím větší proud poteče při ustalování rovnováhy a v konečném důsledku nezávisle na hodnotě R se propálí v teple vždy stejné množství energie. Druhá možnost ztráty energie je v indukčnosti, kde se vlastně neztratí přímo, ale pouze uloží. I samostatné vodiče mají jistou indukčnost - při protékajícím proudu vytváří kolem sebe magnetické pole. Při připojení druhého kondezátoru se začne navyšovat proud a tím pádem se začne zvyšovat magnetické pole kolem vodičů. Jistá energie tedy přejde do energie magnetického pole. Jakmile se začne ale proud ustalovat, tak bude magnetické pole slábnout a energie se bude vracet zpátky. Indukčnost udává proudu tedy jakousi setrvačnost. V ideálním případě nulového odporu a nenulové indukčnosti dojde k tomu, že se přenese náboj do hodnot rovnováhy napětí, ale v tu chvíli bude nenulový (a maximální) proud, který poteče dál díky tomu, že jistá energie je v magnetickém poli budícím proudem a ze setrvačnosti se nově připojený kondenzátor dokonce přebije. Jakmile dojde k nulovému proudu, celý proces se obrátí a náboje se budou harmonicky přelévat. Jedná se vlastně o elektrický harmonický osciáltor LC, kde cívku nám tvoří samotný vodič. Nulový odpor však uvažovat nemůžeme a ten nám vždy způsobí (ať už je jakkoliv malý), že časem se příslušná část energie vypálí a dojdeme k rovnovážnému stavu.

SagiCZ · 21. 07. 2011 19:23

Díky moc za super odpověď. Samozřejmě jsem tušil, že se náboj bude nějak přelévat z jednoho kondenzátoru do druhého až dojde k nějaké rovnováze, jen jsem netušil, jak tuto rovnováhu matematicky vyjádřit. Teď už je mi to jasné. Díky za vysvětlení.

zdenek1 · 21. 07. 2011 20:34

↑ SagiCZ:
Ještě malý dodatek.
Ke změně energie dojde i v ideálním případě, kdy zanedbáme odpor vodičů i indukčnost.
Pokud si označím $U_0$ počáteční napětí, $C_1$ původní kondenzátor, $C_2$ nově připojený, tak počáteční energie
$E_1=\frac12C_1U_0^2$ a náboj na kondenzátoru $Q=U_0C_1$

Po připojení druhého kondenzátoru bude mít soustava kapacitu
$C_1+C_2$ a náboj bude stejný, takže energie
$E_2=\frac12\frac{Q^2}C=\frac12\frac{U_0^2C_1^2}{C_1+C_2}=\frac{C_1}{C_1+C_2}E_1$
Takže energie klesne.

Je to proto, že při tom procesu dochází ke změně napětí a tím pádem i intenzity el. pole ( $U=Ed$ )
A nyní se začnou uplatňovat Maxwellovy rovnice - při změně el. intenzity vznikají elektromagnetické vlny a energie se vyzáří do prostoru ve formě elmg. vln.