Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » sucet cisel = sucin cisel (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 01. 08. 2011 12:15
sucet cisel = sucin cisel
Zdravim,
najdite vsetky riesenia rovnice a + b + c = a . b . c, kde a <= b <= c su kladne cele cisla.
Metodou pokus-omyl som zistil, ze 1+2+3 = 1.2.3
Pravdepodobnse neexistuje ine riesenie, ale ako to dokazat? Skusam nejak analyzovat pripady, ale neuspesne. Nejaky napad na dokaz? Vdaka!
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) jozou)
#2 01. 08. 2011 12:59 — Editoval Honzc (03. 08. 2011 05:54)
platí:
pak na levé straně poslední nerovnice jsou čísla nutně větší než 1 (pro a=2, je a-1=1) a tudíž i jejich součin je větší než 1. Takže tvrzení, že součin dvou celých čísel větších než 2 je větší než jejich součet je pravdivý. (dokonce to platí i pro jakákoliv reálná čísla větší než 2) Dále už není problém s ohledem na požadavek, že a>b>c ukázat, že řešení 1,2,3 je jediné řešení.$ #3 03. 08. 2011 09:32
Re: sucet cisel = sucin cisel
Posielam pekny dokaz ulohy. (nie som autor)
Let a ≤ b ≤ c be positive integers, s.t. equation a+b+c = a.b.c holds.
If a > 1, then 4c ≤ a.b.c = a+b+c. So 3c ≤ a+b, what contradicts a ≤ b ≤ c.
So a= 1. Now we have to solve 1+b+c = b.c. Then b.(c-1) = 1+b+c - b = 1 + c, (b-1).(c-1) = 1 + c - (c-1) = 2.
So (b-1).(c-1) = 2. Hence the only solution satistying assumptions is b = 2, c = 3.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » sucet cisel = sucin cisel (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)