Matematické Fórum

Ahoj, nepochopil jsem zcela, proč je úloha ekvivalentní s tou, kterou uvádíš:

rughar napsal(a):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skrytý text:

Otázka vlastně se dá přeformulovat takto: Jaká je pravděpodobnost, že na takovéto minci padne jedna strana dvakrát po sobě?

Mohl bys to prosím objasnit? Díky.

PS: Přemýšlel jsem, zda výsledek nezávisí na pravděpodobnosti, se kterou bude panna mít úspěšnost 51% a je možné, že ano. Tj. řekněme, že víme, že s x procentní pavděpodobností padne panna s pravděpodobností 51% (jinými slovy - jsou na výběr dvě mince - jedna, na které padne panna s pravděpodobností 51% a druhá, na které padne panna s pravděpodobností 49% - a to, zda bude vybrána pro hod první mince, je dáno právě pravděpodobností x) - pak by mohl výsledek záviset i na x, nebo ne? Např. budu-li vědět, že x se blíží k 100%, pak se dle mého hledaná pravděpodobnost bude blížit k 51%. Naopak, vím-li, že x je 0, pak je hledaná pravděpodobnost 49%.
Tj. nejsem si jist, zda zadání úlohy je úplné - případně, zda se tedy v tomto případě nějak "implicitně" nepočítá s tím, že x=1/2.

V podstatě jsem vycházel z intuitivní představy, že "každou pravděpodobnost lze nasimulovat/aproximovat vhodným počtem pokusů". Ale v tomto případě se mi to nějak nedaří. Možná není můj názor zcela správný, ale mohl by rozhýbat diskusi v tomto tématu. :-)

medvidek napsal(a):

Otázku jsem si přeložil takto:
Je strategicky výhodné při druhém "ostrém" hodu vsadit na stejnou stranu mince, která padla při prvním "testovacím" hodu?

I z tohoto je zřejmé, že úloha není jasně zadána. Já jsem si ji přeložil tak, jak byla uvedena- tj. padne-li panna, jaká je pravděpodobnost, že opět padne panna? Tj. padne-li orel, pak "neřeším", protože nejsou splněny předpoklady úlohy (nepadla panna).

Explicitní formulace - jaká je pravděpodobnost, že při dvou hodech po sobě padne stejná strana mince, již samozřejmě smysl dává a zde již je lhostejné, zda má 51% úspěšnost panna či orel. Zadání samotné však takovou symetrii nenaznačovalo.

Rozdíl obou přístupů je zřejmý a lze jej demostrovat dvěma hrami:
První hra - padne-li při dvou hodech po sobě stejná strana mince, pak dám 100Kč soupeři, v opačném případě dá soupeř 100Kč mě. Tato hra je pro mě nevýhodná.
Druhá hra - padne-li v prvním hodu panna, pak pokud padne panna i v druhém hodu, dám soupeři 100Kč a nepadne-li v druhém hodu panna, dá soupeř 100Kč mě. Pokud v prvním hodu padne orel, nikdo nikomu nic nedává. Tato hra (resp. šance na výhru každého z hráčů) již závisí na tom, zda je pravděpodobnost padnutí panny 49% či 51% a takto jsem ji chápal já.

medvidek napsal(a):

↑ check_drummer:
Ve smyslu této významové substituce lze poslední větu zadání přepsat: "Jaká je pravděpodobnost, že při dalším hodu padne strana stejná resp. opačná?"
Následující úvahy by už měly být jasné.

Ano, ale mohl by se najít filuta, který si vezme minci, na které s 51% šancí padne orel a hodí s ní před tebou (a ty víš jen, že 51% šanci má buď panna nebo orel) - pokud mu padne orel, tak třeba řekne "to je ale pěkný orel", že? Ovšem kdyby mu padla panna, tak by řekl: "jaká je šance, že padne opět panna?" A zde již je ta šance jen 49%. Takže kdyby takouvouto věc předvedl před 1000 lidmi (postupně nezávisle, aby se o tom ti druzí nedozvěděli), tak pokud by všichni uvažovali jako ty, tak by si mysleli (poté co v prvním hodu padla panna), že šance, že padne panna je větší než 50% a šli by tedy do nerozumné sázky.

Dle mého by zadání tedy mělo znít - hoď si mincí a ať padne co padne, jaká je šance, že při druhém hodu padne totéž (přesně jak říkáš)? Uznávám ale, že pak se řešení zjednoduší - je explicitně řečeno, co chceme spočítat - i když dle mého je toto zadání přesné a mělo by takové být už na počátku.

↑ medvidek:
Ano, filuta ví více, ale situace je naprosto shodná se zadáním úlohy - my nevíme o té pravděpodobnosti nic a my máme možnost si jednou hodit... Prostě ten filuta ti podá minci o které ti řekne vše co je v zadání úlohy.

Zamyslel jsem se nad úlohou v zadání a stanovil jsem si tyto předpoklady:

Je nutno stanovit, s jakou pravděpodobností padne panna s pravděpodobností 49%, označme ji p. Potom pravděpobnost, že padne v jednom hodu panna je p1:=p.0,49+(1-p).0,51 (vážíme pravděpodobnosti hodnotou p). Pravděpodobnost, že padne ve dvou hodech po sobě panna je
p2:=.
Pravděpodobnost, že padne v prvním hodu panna a ve druhém orel je
p3:= .

Nás ale zajímají "střední hodnoty" p1,p2,p3 (označím je p4,p5,p6), které můžeme zjistit integrací, pakliže považujeme všechny hodnoty p za stejně pravděpodobné (stejný výsledek dostaneme, uvažujeme-li pouze dvě možné hodnoty p - 0 a 1 se stejnou pravděpodobností.) - to je velmi důležitý předpoklad (klíčový).
Pak máme p4:=0.5
p5:=. - což je více než kdyby mince byla spravedlivá - ale po zamyšlení to dává smysl.
p6:=
Vzhledem k tomu, že jevy odpovídající p5 a p6 jsou (za předpokladu, že padla panna) úplné, pak hledaná pravděpodobnost q (padne panna za předpokladu, že padla panna) je rovna:
q=,
což je výsledek, který odvodili kolegové.

Podstatný je předpoklad, že to, že panna padne s pravděpodobností 51% je stejně prravděpodobné jako to, že panna padne s 49% pravděpodobností.