Matematické Fórum

Majki · 07. 08. 2011 11:05

zdravim potreboval bych pomoci s touto limitou
$lim_{x\to0}\frac{sin(sin x)-x*\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5}$
dekuji

Majki · 07. 08. 2011 11:16

$sin(sin x)=x-\frac{29x^5}{60}+o(x^5)$
vyraz pod odmocninou sem rozlozil na (1-x)*(1+x)
$(1+x)^{1/3}=1+\frac13 x-\frac19 x^2-\frac{10}{81} x^3-\frac{28}{243} x^4 +o(x^4)$
je to dobre?

jelena · 07. 08. 2011 18:21

Zdravím,

nějak se mi nejeví žádná použitelná úprava, zřejmě asi bude cesta přes řadu (kolegové?)

Ale rozklad sin(sin(x)) mi vyšel jinak - mám člen s x^3 (stroj také) - překontroluji si to ještě prosím.

sisel · 08. 08. 2011 22:32

5x L'Hospital a cíl by měl být v dohledu...

jelena · 08. 08. 2011 22:59

↑ sisel:

:-) to je dobrý nápad, docvičím 1+7, doumývám okno a hned se do toho pustím - určitě budu rychlejší, než stroj, např. v derivování čitatele.

A budu se těšit na pochvalu od milého kolegy Ondřeje :-)

-------------------------
Vážně - řadou to šlo rychle, jen kolega má nějaký překlep, l´Hospitalem (strojovým) jsem to ověřovala. Nějaká pěkná úprava by potěšila.

Rumburak · 09. 08. 2011 10:53

↑ Majki:

Pro $x\to 0$ je

$\sin(\sin x) = \sin x - \frac{1}{3!}\sin^3 x +\frac{1}{5!}\sin^5 x -\frac{1}{7!}\sin^7 x + ... = \sin x - \frac{1}{3!}\sin^3 x +\frac{1}{5!}\sin^5 x + o(x^6)$ ,
$\sqrt[3]{1-x^2} = 1 + \frac{1}{3}(-x^2) + { \frac{1}{3} \choose 2} (-x^2)^2 + { \frac{1}{3} \choose 3} (-x^2)^3 + ... = 1 - \frac{1}{3}x^2 -\frac{1}{9}x^4 + o(x^5)$ ,

$\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2} = \sin x - \frac{1}{3!}\sin^3 x +\frac{1}{5!}\sin^5 x + o(x^6) - x + \frac{1}{3}x^3 +\frac{1}{9}x^5 + o(x^6)$ ,
takže

$L:=\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^2}}{x^5} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x - \frac{1}{3!}\sin^3 x +\frac{1}{5!}\sin^5 x - x + \frac{1}{3}x^3 +\frac{1}{9}x^5}{x^5}$ ,
pokud existuje limita vpravo . Zlomek na pravé straně vyjádříme jako součet $A(x) + B(x)$ , kde
$A(x):= \frac{\sin x - \frac{1}{3!}\sin^3 x - x + \frac{1}{3}x^3}{x^5}$ , $B(x):= \frac{\frac{1}{5!}\sin^5 x +\frac{1}{9}x^5}{x^5} = \frac{1}{5!} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^5 + \frac{1}{9}$ .

Snadno určíme, že $\lim_{x\to0}B(x) = \frac{1}{5!} + \frac{1}{9}$ , zbývá rozhodnout o $\lim_{x\to0}A(x)$ , to už nechám na Tobě.

Majki · 21. 08. 2011 12:40

↑ Rumburak:
byl jsem ted mimo net
dekuji za tuto upravu
co se tyce vyrazu A lhospitalem a upravami jsem se dostal az k $\frac{cosx+\frac18(81cos(3x)-cosx)}{120}$
coz jde k 11/120
prictu k druhemu a dostanu 12/120 + 1/9 = 19/90
jeste jednou dekuju

Matematické Fórum

#1 07. 08. 2011 11:05

limita

#2 07. 08. 2011 11:16

Re: limita

#3 07. 08. 2011 18:21

Re: limita

#4 08. 08. 2011 22:32

Re: limita

#5 08. 08. 2011 22:59

Re: limita

#6 09. 08. 2011 10:53

Re: limita

#7 21. 08. 2011 12:40

Re: limita

Zápatí