Matematické Fórum

see http://oeis.org/A072449

My solution of the convergence of the given sequence uses a different approach.

Skrytý text:

For denote



Then , where denotes the terms of the original sequence.


Next, suppose that , . Using the notation of we obtain that



Hence, for every positive there exists a positive integer such that for every the inequality



This follows from the fact that for . From this we deduce that the sequence is Cauchy and thus converges to a finite value.

The convergence of the nested root expression can be shown by means of infinite series.

Skrytý text:
It is enough to use the inequality



Modify the given nested root expression:



It is obvious that the infinite series on the right hand side is convergent. Due to comparison convergence test, the infinite nested root expression is convergent as well.

↑ vanok:

The existence of the (infinite) continued root is not the most important thing. The given sequence is monotone and positive and hence for the limit we can deduce only two essentially different cases: finite limit or infinite limit . Using this fact, Pavel should only to rewritte some of the inequlaity signs to . The rest holds true.

↑ vanok:

\begin{off-topic}
Respect my comment. I know what is math.
\end{off-topic}

;-)

↑ vanok:

1. Máš pravdu, existenci nekonečné odmocniny jsem ve svém důkaze neuvedl. Stačilo by shora odhadnout obecný člen , který jsi definoval dříve, a to nekonečnou řadou, ke které jsem dospěl ve svém příspěvku, a navíc ukázat, že posloupnost je rostoucí. To pak implikuje existenci nekonečné odmocniny jako limity posloupnosti .

2. Marianova poznámka je naprosto namístě, k příspěvkům se může vyjádřovat kdokoliv a v jakémkoliv pořadí a není zde zapotřebí někoho vychovávat a určovat, kdo je nebo není čí mluvčí a kdo má nebo nemá mít svůj názor. Navíc Marian je jeden z nejlepších na tomto foru, takže si může dovolit tvrdit "I know what is math."

3. Nejsem zřejmě v angličtině tak zběhlý, abych rozuměl větě "Mathematics are an exact science and has little near is has to banish".

Jestli jsem to dobře pochopil, tak tu došlo k nedorozmění, že vanok měl ↑ zde: na mysli konečnost, ne samotnou existenci.

↑ Pavel:

Bodu 1 tvého příspěvku asi ne úplně rozumím. Mám z něho pocit, jako by stačilo k důkazu něco doplnit a tím by už byl v pořádku. Ale kdybychom k němu doplnili to, co píšeš, nebyl by už samotný důkaz ↑ zde: nadbytečný? Mně přijde, že by se hlavně měl důkaz pozměnit (ve smyslu bodu 1 tvého příspěvku), tak, abychom místo



dokazovali toto:

Ahoj ↑ Pavel: a ↑ Pavel Brožek: a iny

Dakujem za zaujimave pdf.
Teraz po vymene nazorov z kolegami nemam ziadnu observaciu k Pavelomu rieseniu.
Najdolezitejsie pre matematiku je ze sme to vsetko spolupracou zdokonalili a vdaka tomu pdf mame naviac aj stvrte riesenie.

Srdecne Vanok