Matematické Fórum

Vyber - a nebo dokaž, že je to on?

↑ BakyX: Preložené do reči Pytagorasa.... Hľadáme bod na  elipse, ktorý nám vytvorí so špagátom upevneným  v ohniskách plošne najväčší trojuholník.

http://www.youtube.com/watch?v=HYWu7PS3 … re=related

↑ check_drummer:
↑ pietro:

taky se mi to nezdá,

Nástřel řešení:

Použijeme "známého" faktu, že ze všech -úhelníků s daným obvodem má největší obsah pravidelný -úhelník.
Aplikací dostanem, že při daném obvodu má největší obsah rovnostranný trojúhelník.
Protože platí tedy dostaneme

Ještě by však chtělo dokázat onen "známý" fakt.



EDIT
Možná že by to šlo přes hledaní maxima funkce s pevným ale předpokládám, že BakyX chce spíš geometrické řešení, než analytické

byk7 napsal(a):

Nástřel řešení:

Použijeme "známého" faktu, že ze všech n-úhelníků s daným obvodem má největší obsah pravidelný n-úhelník.

a za n dosadíme 3. jak prosté:D

↑ musixx: není. čím větší u a v zvolíš, tím větší dostaneš obsah. ty ale chceš dokázat, že je to u=v=1

↑ Stýv: ↑ OiBobik:. Jo, jo. Nechal jsem se unést tím příkladem elipsy a nenapsal všechno. Další podmínka je, že ta strana délky 1 je v tom trojúhelníku maximální, tedy navíc chci . To už pak postihuje vše, souhlasíte? Výška na tu jednotkovou stranu pak je , tedy je třeba maximalizovat na oblasti , což se snadno ukáže, že nemá lokální extrémy a vyšetřit hranici je snadné.

↑ Stýv: ... s maximální stranou 1 ...

A kromě toho: každý trojúhelník má některou ze svých stran maximální délky. No tak si jen beru vhodné měřítko.

No a to něčemu vadí? Můj výpočet, specielně funkce nemá na lokální extrém (parciální derivace a nemohou být nikdy současně nulové), je to (dle očekávání) symetrický polynom, takže vyšetření hranice stačí udělat pro u=0, kde je funkční hodnota nekladná, a pro u=1, kde je to , což je maximální (a kladné) pro v=1, tedy jde o trojúhleník rovnostranný.

↑ musixx:

Já tam vidím problém v tom, že nikdy není v těch jednotlivých formulacích zahrnuta celá množina trojúhelníků se stejným obvodem (i kdyby jako podmnožina nějaké větší množiny). Z toho, jaks doplnil podmínky, plyne , ovšem (alespoň) pro každé takové k (a zejména i pro k=2) existuje trojúhelník, který nemá žádnou stranu délky 1 a má stejný obvod (1+k), tedy jsme jej i do potenciálního důkazu nezahrnuli a nelze vyloučit, že takový trojúhelník může mít větší obsah.

↑ musixx: problém je v tom, že při tý maximalizaci srovnáváš trojúhelníky s různými obvody - a maximum ti vyjde přirozeně tam, kde je největší obvod

Přiznám se, že jsem nečetl celou diskusi a musel jsem si po tom horkém dni dát jednu plzeň, ale dle mého by ta elipsa mohla pomoci:
1) Mějme nějaký trojúhelník s pevnou stranou "a" a daným obvodem, o kterém někdo tvrdí, že má maximální obsah. Pomocí té eliptické konstrukce ukážu, že musí být nutně rovnoramenný (se základnou a).
2) Mějme rovnoramenný trojúhelník se základnou "a" a daným obvodem, o kterém někdo tvrdí, že má maximální obsah.
Lze použít stejnou metodu jako v bodě 1: Vezmu jednu ze shodných stran jako vzdálenost ohnisek elipsy a pokud tento trojúhelník není rovnostranný, mohu z něj udělat trojúhelník s větším obsahem.

Tj. máme dokázáno, že pokud existuje trojúhelník s maximálním obsahem, pak je rovnostranný.

Nyní tedy zbývá ukázat, že trojúhelník s maximálním obsahem existuje. Dle mého by to šlo tak, že v prostoru délek stran a,b, které vyhovují zadání úlohy lze volit taková a,b, že a,b>=epsilon pro dostatečně malá epsilon. Jinými slovy, pokud je jedna strana hodně malá, pak se v ní maximálního obsahu nenabyde. V takovémto prostoru by pak tato a,b tvořila uzavřenou množinu, na které spojitá funkce S tedy nabývá maxima.

↑ Phate:
Chtěl bych něco elegantnějšího. :-)

↑ Honzc:
Já jsem se chtěl vyhnout derivacím. Ale když vidím ten Heronův vzorec, tak by vše šlo i jinak:
pro , kde o je obvod, P obsah.
s je konstantní, takže maximalizujeme . Zkoumejme maximum , zřejmě se maxima nabyde pro stejná a,b,c ať již uvažujeme nebo . A teď to přijde: použijeme AG nerovnost a máme . Ovšem maxima se nabyde pro ta a,b,c, pro která je s-a=s-b=s-c, tj.
, tj. a=b=c.

↑ byk7:
Nepostupoval jsem přes derivace, takže je to snad středoškolsky dostupné vysvětlení.
Nevím, zda je požadovánoo geometrické řešení nebo jiné, já preferoval nějaké elementární.