Matematické Fórum

r2d2 · 23. 08. 2011 13:04

ahoj, když se dostanu v příkladu do situace, že mám $6z -\overline{z} = 10+2i$ , jak mohu pokračovat dále?
napadá mě jedině to, použít $|z|= |\overline{z}|$ a udělat z obou komplexních čísel absolutní hodnoty? řeší se to takhle? a nebo je ještě nějaký jiný způsob?

Jenda358 · 23. 08. 2011 13:18

Ahoj. Používá se obecný tvar komplexního čísla.
$z=a+bi$
$\overline{z}=a-bi$

r2d2 · 23. 08. 2011 13:29

↑ Jenda358:
no, to sice vím, ale nevím jak od sebe odečíst $6z-\overline{z}$ ?
mohl bych to sice přepsat na $6(a+bi) -(a-bi)$ , ale to mám zase dvě proměnné v jedné rovnici? nanapsal by mi někdo náznak postupu jak dál?

Jenda358 · 23. 08. 2011 13:41

Dostaneš rovnici $6(a+bi) -(a-bi)=10+2i$
Roznásobíš: $6a+6bi -a+bi=10+2i$
Sečteš: $5a+7bi=10+2i$
Dvě komplexní čísla se rovnají právě tehdy, když se rovnají jejich reálné a imaginární části. Z toho vyplývají dvě rovnice:
$5a=10$
$7bi=2i$

r2d2 · 23. 08. 2011 13:43

↑ Jenda358:díky moc, to jsem potřeboval, supr dík:-)

r2d2 · 23. 08. 2011 15:09 — Editoval r2d2 (23. 08. 2011 15:11)

tak pardon, mé zajásání bylo předčasné. já totiž nevím co jsem vlastně vypočítal:
rád bych sem tedy uvedl celý příklad:
Vyjádřit komplexní číslo ve tvaru z = a+bi
$(5-i)z-\overline{z}(1+i)=12$

postupnými úpravami jsem se dostal k tomu, že $z = \frac{10+2i}{6} + \frac{\overline{z}}{6}$
a teď jak to dostat do tvaru z = a+bi. upravil jsem si to (viz. minulé příspěvky) na rovnici
$6z - \overline{z} = 10+2i$ tu jsem rozepsal na
$6(a+bi)-(a-bi)=10+2i$ a výsledek je: $a = 2, b = \frac{7}{2}i$

ale napadla mě zásadní otázka. vypočítal jsem komplexní a nebo kopmlexně sdružené číslo. resp. vím že
$z=a+bi$ , $\overline{z}=a-bi$ takže je to
1) $z = 2+ \frac{7}{2}i$ a $\overline{z} = 2 - \frac{7}{2}$ a nebo je to
2) $z = -2 - \frac{7}{2}i$ a $\overline{z} = -2 + \frac{7}{2}$

fakt teď nevím?

Phate · 23. 08. 2011 15:29 — Editoval Phate (23. 08. 2011 15:29)

↑ r2d2:
par chybek:
1) a a b jsou realna cisla nemuzes tam plest zadne icka, asi jsi se nekde spletl
2) komplexne sdruzena cisla jsou vzdy podle osy x, takze celou cast maji stejnou a iamginarni se lisi o znamenko. Ty jsi jakesi a vypocital, tak proc mu menis znamenko?

r2d2 · 23. 08. 2011 15:55

Ano, a je reálná část a b je realny koeficient imaginární části, ale asi jsem to měl zapsat jinak - V TOMHLE MÁM TROCHU ZMATEK. já si jenom nejsem jistý jelikož jsem měl vyjádřit z, tak jaké je znaménko před b? a s tou změnou znaménka u 2 jsem se sekl to vidím.
takže a je realne cislo a b taky $a = 2, b = \frac{7}{2}$ bez i ale jako zápis použiju
$z = 2 + \frac{7}{2}i$ je to tak? Ale teď jde o to, jestli je toto výsledek a jestli z se náhodou nerovná $z = 2-\frac{7}{2}i$

Není mi to jasné protože jsem měl v jedné rovnici jak komplexní tak komplexně sdružené číslo. Vypočítal jsem sice realné čísla a, b ale to znaménko před b má platit pro to komplexní číslo a nebo pro komplexně sdružené?

Phate · 23. 08. 2011 16:08

↑ r2d2:
kdyz sis zvolil $z=a+bi$ , tak to same ti vyjde ve vysledcich, kdyby sis dosadil $z=a-bi$ , tak ti vyjde stejne vysledek, jen jine hodnoty $a$ a $b$

r2d2 · 23. 08. 2011 16:10

↑ Phate:jo, aha tak dobře. Teď už mám jen jeden problém. Našel jsem výsledky a je to špatně, ale třeba je někde chyba, hlavně že znám postup. díky

Rumburak

↑ r2d2:

Toto $z = 2 + \frac{7}{2}i$ JE výsledek (tj. řešení rovnice $6z -\overline{z} = 10+2i$ ), protože bylo předpokládáno $z=a+bi$ a vyšlo
(správně a jednoznačně) $a = 2, b = \frac{7}{2}$ . Potom ovšem $\overline{z} = 2-\frac{7}{2}i$ , ale to už není kořen oné rovnice.

Jsou úlohy, v nichž výsledkem je uspořádaná dvojice $(z, \overline{z})$ stejným právem jako $(\overline{z}, z)$ , avšak tato úloha k nim nepatří.

r2d2 · 23. 08. 2011 16:24

↑ Rumburak:díky moc, ale já si našel ve výsledcích, že se to má rovnat $z = 3+i$ , co s tím?

anes · 23. 08. 2011 16:27 — Editoval anes (23. 08. 2011 16:34)

↑ Rumburak:
Problém bude v

rád bych sem tedy uvedl celý příklad:
Vyjádřit komplexní číslo ve tvaru z = a+bi
$(5-i)z-\overline{z}(1+i)=12$
postupnými úpravami jsem se dostal k tomu, že
$z = \frac{10+2i}{6} + \frac{\overline{z}}{6}$

↑ r2d2: Pokud není tvar zadání nějak extra hezký, tak je jednodušší nehrát si s tím a rovnou si to z rozepsat na re a im část. Čarováním se z jako celkem si moc nepomůžeš a snadno vyrobíš nějakou chybu (jak je vidět).
Pokud jsme vycházeli z $6z -\overline{z}=10+2i$ , tak je výsledek $z = 2 + \frac{2}{7}i$ správný (nakonec není nic jednoduššího, než pro ověření dosadit).

EDIT: Někde ses přehlíd/upsal a pak se to několikrát zkopírovalo. $b=\frac{2}{7}$ a ne $\frac{7}{2}$ , ale o to tady asi nejde.

Rumburak · 23. 08. 2011 16:40

↑ anes:
Ano, vycházel jsem z předpokladu, že byla zadána rovnice $6z -\overline{z} = 10+2i$ (viz úvodní téma). Že tato rovnice je chybným mezivýsledkem
jiné úlohy jsem si později uvědomil.

r2d2 · 23. 08. 2011 16:41 — Editoval r2d2 (23. 08. 2011 16:44)

teď jsem zkusil to rozepsat rovnou
takže $(5-i)z-\overline{z}(1+i)=12$ jsem převedl na $(5-i)(a+bi) -(a-bi)(1+i)=12$ , je to tak správně?

dále jsem to upravoval a dostal jsem se k $4a +6bi -2ai-12=0$ a teď už se asi budu ptát hloupě: co dál s tím?

anes · 23. 08. 2011 16:47

Zas stejně. Reálné a imaginární části na obou stranách se musí rovnat. Máš
$4a +6bi -2ai-12=0$
Takže
$4a-12 = 0$ a $6b-2a=0$

r2d2 · 23. 08. 2011 17:25

↑ anes:promiň, ale nevím. Vím, že se musejí rovnat
$4a -12 = 0$
$-2a+6b=0$ a vypadá to, že se rovnají. Ale snažím se přijít na to jak se dostat k výsledku z = 3 + i, který je u toho napsaný.(?)

Phate · 23. 08. 2011 18:15 — Editoval Phate (23. 08. 2011 18:15)

↑ r2d2:
tak z tech dvou rovnic o dvou neznamych vypocitej $a$ a $b$ a budes mit vysledek tvaru $z=a+bi$

r2d2 · 23. 08. 2011 21:08

↑ Phate:omlouvám se, nebyl jsem tu.

Mám to konečně dopočítaný.
Tak já všem moc děkuji. Bez Vás bych to nespočítal. Tohle jsem opravdu neuměl. Díky všem

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2011 13:04

komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#2 23. 08. 2011 13:18

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#3 23. 08. 2011 13:29

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#4 23. 08. 2011 13:41

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#5 23. 08. 2011 13:43

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#6 23. 08. 2011 15:09 — Editoval r2d2 (23. 08. 2011 15:11)

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#7 23. 08. 2011 15:29 — Editoval Phate (23. 08. 2011 15:29)

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#8 23. 08. 2011 15:55

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#9 23. 08. 2011 16:08

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#10 23. 08. 2011 16:10

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#11 23. 08. 2011 16:19 — Editoval Rumburak (23. 08. 2011 16:22)

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#12 23. 08. 2011 16:24

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#13 23. 08. 2011 16:27 — Editoval anes (23. 08. 2011 16:34)

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#14 23. 08. 2011 16:40

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#15 23. 08. 2011 16:41 — Editoval r2d2 (23. 08. 2011 16:44)

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#16 23. 08. 2011 16:47

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#17 23. 08. 2011 17:25

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#18 23. 08. 2011 18:15 — Editoval Phate (23. 08. 2011 18:15)

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

#19 23. 08. 2011 21:08

Re: komplexní a komplexně sdružené číslo v jedné rovnici

Zápatí