Matematické Fórum

avalagne · 23. 08. 2011 15:13

Ahoj,

potřeboval bych návod (klidně i odkaz) jak se počítá tento typ příkladu.
Zadání:

Bude to jistě přes integrál (násobný), ale na internetu, ani zde na fóru nemůžu najít postup, jakým bych se měl dostat k výsledku.

Těchto typů příkladů ty mám asi 6 a chtěl bych je pochopit, protože nevím ani trochu jak na to.

Mockrát děkuji za pomoc.

Rumburak

↑ avalagne:

Tato úloha má dvě části:

1. sestavit integrál,

2. spočítat ho.

Ad 1. Tu množinu, jejíž objem počítáme, je potřeba popsat analytickými formulemi . Zde to budou formule

(1) $x^2 + (y-1)^2 < 1$ , $0 < z < \sqrt{x^2 + y^2}$ ,

naše těleso $T$ obsahuje právě takové body $[x, y, z]$ , které vyhovují oběma formulím (1) zároveň, takže počítáme objem tělesa

$T:=\{\,[x, y, z] \in {\mathbb R}^3 \,:\, x^2 + (y-1)^2 < 1 \,\wedge \,0 < z < \sqrt{x^2 + y^2}\,\}$ ,

tedy trojný integrál z jedničky přes tuto množinu.

Ad 2. Směřujeme k možnosti použít Fubiniovu větu, k čemuž je v mnohých případech nutno či aspoň výhodné dopomoci si vhodnou substitucí -
viz věta o substituci pro vícerozměrné integrály.

Počet použití F. věty je dán rozměrem integrálu (rozměr minus jedna). Zde lze první použití F. věty provést ihned, a sice úpravou

$\int \! \! \! \! \int \! \! \! \! \int_T \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z = \int \! \! \! \! \int_P \int_0^{\sqrt{x^2 + y^2}} \mathrm{d}z \,\,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y = \int \! \! \! \! \int_P \sqrt{x^2 + y^2}\,\,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y$ ,

kde $P:=\{\,[x, y] \in {\mathbb R}^2 \,:\, x^2 + (y-1)^2 < 1 \,\}$ ,

atd.

Je vidět, že od chvíle, kdy je těleso formálně popsáno, je v běžných případech další postup už víceméně mechanický.

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2011 15:13

Objem tělesa ohraničeného válcem a rovinou

#2 25. 08. 2011 10:42 — Editoval Rumburak (25. 08. 2011 11:20)

Re: Objem tělesa ohraničeného válcem a rovinou

Zápatí