Matematické Fórum

kacka18 · 25. 08. 2011 07:03

Ahoj,

ráda bych poprosila o pomoc s matematickou indukcí.
Mám od kamaráda půjčený sešit a zkouším dávat dohromady další zadání, ale ani v nejmenším netuším, jestli to dělám správně.
Z různých teorií jsem nevyčetla nic, co by mi vyloženě pomohlo.
Z jeho zápisků to jsem schopná spočíst, ale nevím, k čemu jsem se vlastně dopočetla a co je závěrem úlohy mi taky není jasné.

zdenek1 · 25. 08. 2011 08:33

↑ kacka18:
dokazuješ, že výraz $n^3+5n$ je dělitelný šesti pro všechna přirozená čísla.
dokazuješ to matematickou indukcí.
takže
1) nejprve zkontroluješ, zda tvrzení platí pro jedničku
2) uděláš indukční předpoklad, že tvrzení platí pro nějaké $k$
a odvodíš, že pak platí i pro $k+1$
poslední výraz
$k^3+3k^2+3k+1+5k+5$ je rozdělený na tři části
$k^3+5k$ je dělitelné šesti podle indukčního předpokladu
$6$ je jasně dělitelné šesti a
$3k^2+3k$ si můžeš upravit na $3k(k+1)$ . Protože $k$ a $k+1$ jsou dvě po sobě jdoucí čísla, jedno z nich je jistě sudé. takže $3k^2+3k$ je dělitelné třemi a je sudé, tím pádem je dělitelné šesti.

dokázala jsi, že pokud platí IP, je $k^3+3k^2+3k+1+5k+5$ je dělitelný šesti. Takže $n^3+5n$ je dělitelný šesti pro všechna přirozená čísla.

A to je cílem úlohy

kacka18 · 25. 08. 2011 08:38

↑ zdenek1:

Tak teď tomu konečně rozumím :) Díky moc.
Doufám, že mi to půjde stejně aplikovat na další příklady. Fakt super.
Všude je to napsané hrozně složitě ;)

Carlosini · 20. 03. 2012 23:16

Moc nerozumím tomu poslednímu kroku: $k$ a $k+1$ jsou dvě po sobě jdoucí čísla, jedno z nich je jistě sudé. takže $3k^2+3k$ je dělitelné třemi a je sudé, tím pádem je dělitelné šesti.

Jaktože pak tato dělitelnost platí, nevidím souvislost. Děkuji za odpověď

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2011 07:03

matematická indukce

#2 25. 08. 2011 08:33

Re: matematická indukce

#3 25. 08. 2011 08:38

Re: matematická indukce

#4 20. 03. 2012 23:16

Re: matematická indukce

Zápatí