Matematické Fórum

balik · 04. 09. 2011 12:10

Ahoj,
prosím ráda bych se zeptala na konvergenci některých řad, zkoušela jsem to počítat:

$\sum \sqrt{n}\frac{n-1}{n+1}\sin{\frac{\pi n^2}{n+1}}$

co s tím? Rozložila jsem sinus vevnitř zlomek na parciální zlomky a použila součtových vzorců, takže mi jeden sin vypadl (sin pi*n * cos něco), v druhém mám cos pi*n, takže alternující řadu. Takže mám použít leibnitze? Říkala jsem si, vyšlo mi
$\sum (-1)^n\sqrt{n}\frac{n-1}{n+1}\sin{\frac{\pi n}{n+1}}$
že ale není splněno $a_{n+1}<a_n$ , co? Takže to diverguje?

A kdybych jen změnila tu odmocninu v původní řadě za $1/\sqrt{\ln{n}}$ , změnilo by to něco?

A prosímvás ještě o radu s tímhle
$\sum \tan{(\frac{1}{\sqrt{n}})}^a sinh(\frac{1}{n^b}) arctan (\frac{1}{n^c}) \frac{1}{{\ln{n}}^2}$

co mám dělat s těma šílenejma parametrama a,b,c, aby mi to konvergovalo? Jestli to chápu, chtěla bych něco jako srovnávací kritérium, nebo asi zase abel či dirichlet (ten poslední člen, lomení logaritmem na druhou je docela pěknej, že mi něco ukonverguje)
moc děkuji za radu

Olin · 04. 09. 2011 23:33

Předně bych asi pro příště doporučil založit dvě témata, každé pro zvláštní příklad.

Odpovím tak nějak zkratkovitě. Abelovo či Dirichletovo kritérium (nevím, které je které) nám zaručuje, že člen $\tfrac{n-1}{n+1}$ (který je monotónní a omezený) můžeme vypustit a zabývat se jen řadou

$\sum (-1)^n \sqrt{n} \sin \left ( \frac{\pi n}{n+1} \right )$ .

Rovněž pomůže úprava $\sin \big( \tfrac{\pi n}{n+1} \big) = \sin \big( \tfrac{\pi}{n+1} \big)$ . Práci dodělá Leibniz, pokud se nám podaří ukázat, že $\sqrt{n} \sin \big( \tfrac{\pi}{n+1} \big)$ je (až na konečný počet členů) monotónní posloupnost.

Ke druhé řadě - limitně srovnat; bude totiž platit

$\lim_{n\to\infty} \frac{f\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)}{\frac{1}{n^\alpha}} = 1$

pro $\alpha > 0$ a $f = \tan, \sinh, \arctan$ . Dále $\ln n^2 = 2 \ln n$ , logaritmus na výsledek nejspíš vůbec nebude mít vliv.

Matematické Fórum

#1 04. 09. 2011 12:10

Konvergence řady se siny, tangenty a parametrem

#2 04. 09. 2011 23:33

Re: Konvergence řady se siny, tangenty a parametrem

Zápatí