Matematické Fórum

lucaneni19 · 03. 10. 2011 18:12

Ahoj, potřebovala bych pomoct s jedním příkladem - vůbec nevím, čím začít. Děkuju

Napište rovnici kružnice, která má střed S[-5;4] a na přímce p: y=2x+4 vytíná tětivu délky 8.

((:-)) · 03. 10. 2011 18:16

↑ lucaneni19:

Myslím:

Nakresli si obrázok.

V rovnici kružnice nepoznáš polomer.

V rovnoramennom trojuholníku so stranami r, r, 8 je výška na tetivu rovná vzdialenosti bodu od danej priamky (pozrieť "vzorec").

Polomer sa potom dá zistiť z Pytagorovej vety.

lucaneni19 · 03. 10. 2011 18:23

Dana - děkuju, ale já bych to potřebovala právě řešit přes soustavu

((:-)) · 03. 10. 2011 18:25 — Editoval ((:-)) (03. 10. 2011 18:27)

↑ lucaneni19:

Keď urobíš, čo som napísala v príspevku #3, tak tú rovnicu máš za chvíľočku.

Nevieš iba polomer...

Svojho druhu sústavu mám aj ja :-).

Hanis · 03. 10. 2011 18:32 — Editoval Hanis (03. 10. 2011 18:39)

V tom případě označíme:
průnik přímky a kružnice - body $A=[x_1;y_1]; B=[x_2;y_2]$
Jejich vzdálenost má být 8 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=8~~~~~~(1)$
tyto body musí ležet na kružnici a přímce zároveň:
$(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2~~~~~~(2)$
$y_1=2x_1+4~~~~~~(3)$
$(x_2-a)^2+(y_2-b)^2=r^2~~~~~~(4)$
$y_2=2x_2+4~~~~~~(5)$

5 rovnic, 5 nezmáných $(x_1;x_2;y_1;y_2;r)$
Hodně štěstí, Danino řešení je mnohem jednodušší a elegantnější :-)

EDIT: přidáno řešení Strojem

lucaneni19 · 03. 10. 2011 18:39

Dana - jak by to teda byla ta rovnice?

((:-)) · 03. 10. 2011 18:40

↑ lucaneni19:

Stačí, keď budeš robiť, čo som napísala. Ak bude s niečím problém, daj vedieť.

zdenek1 · 03. 10. 2011 18:43

Řešení od ↑ ((:-)): je určitě nejjednodušší, ale ↑ Hanis: to trochu přehnal.
průnik přímky a kružnice - body $A=[x_1;y_1]; B=[x_2;y_2]$

$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=8~~~~~~(1)$
protože ty body leží na přímce $y=2x+4$ , dosazením do (1)
$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(2x_1+4-2x_2-4)^2}=8$
$\sqrt5|x_1-x_2|=8$

Dále body leží na kružnici
$(x+5)^2+(y-4)^2=r^2$
$(x+5)^2+(2x+4-4)^2=r^2$
$5x^2+10x+25-r^2=0$
tato rovnice má řešení
$x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}$ a $x_2=\frac{-b-\sqrt D}{2a}$ , takže
$x_1-x_2=\frac{-b+\sqrt D-(-b-\sqrt D)}{2a}=\frac{\sqrt D}a$

to znamená, že musí platit
$\sqrt5\cdot\frac{\sqrt D}a=8$
$\sqrt5\frac{\sqrt{100-20(25-r^2)}}5=8$
Vypočítat z téhle rovnice $r$ už by neměl být problém

Cheop · 03. 10. 2011 18:46 — Editoval Cheop (03. 10. 2011 18:52)

↑ lucaneni19:
Obrázek

Podle obrázku:
1) Pomocí vzorce pro vzdálenost bodu od přímky vypočítej vzdálenost SP
2) Pomocí Pythagorovy věty dopočítej poloměr r (znáš SP a 1/2 AB)
3) Rovnice kružnice bude:
(x-m)^2+(y-n)^2 = r^2 kde m,n jsou souřadnice středu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lucaneni19 · 03. 10. 2011 18:46

http://forum.matweb.cz/profile.php?id=11327

Už to mám, děkuju.
A děkuju zdenkovi1 také. :)

Matematické Fórum

#1 03. 10. 2011 18:12

Analytická geometrie - kružnice

#2 03. 10. 2011 18:15 Příspěvek uživatele Hanis byl skryt uživatelem Hanis. Důvod: Dana nabídla jednodušší řešení

#3 03. 10. 2011 18:16

Re: Analytická geometrie - kružnice

#4 03. 10. 2011 18:23

Re: Analytická geometrie - kružnice

#5 03. 10. 2011 18:25 — Editoval ((:-)) (03. 10. 2011 18:27)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#6 03. 10. 2011 18:32 — Editoval Hanis (03. 10. 2011 18:39)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#7 03. 10. 2011 18:39

Re: Analytická geometrie - kružnice

#8 03. 10. 2011 18:40

Re: Analytická geometrie - kružnice

#9 03. 10. 2011 18:43

Re: Analytická geometrie - kružnice

#10 03. 10. 2011 18:46 — Editoval Cheop (03. 10. 2011 18:52)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#11 03. 10. 2011 18:46

Re: Analytická geometrie - kružnice

Zápatí