Matematické Fórum

lucka14lucky · 04. 10. 2011 19:43

Ahoj, potřebovala bych malou pomoc s touto úlohou:
Vypočtěte souřadnice středu a poloměr kružnice opsané trojúhelníku KLM,
je-li K = (4,3) L = (-3, 2) M= (1,-6)
Pozn. u bodů to jsou souřadnice, néé desetinná čísla. Nevím, jak se dělají hranaté závorky.

Snažila jsem se o postup viz obrázky.
A uvažuju, že je to nějaký obecný trojúhelník, který má teda opsanou kružnici, a osy stran nám dávají střed těch stran - které jsem vypočetla. A já potřebuju, abych zjistila poloměř té kružnice znát rozměr třeba KS ...
Akorát přemýšlím - znám vlastně délku všech stran, které jsem si vypočetla. Hledám v tom někde pravoúhlý trojúhelník, abych zjistila tu stranu SK....nebo jak na to dál?
Nejspíš nejdříve musím zjistit ty souřadnice toho středu, abych mohla znát délku té strany, tu vypočtu až pak ...
Třeba zkusit jen naťuknout...? třeba na to přijdu.
Díky moc za rady.

((:-)) · 04. 10. 2011 20:24

↑ lucka14lucky:

Skús pozrieť sem, príklad 8, myslím, že je to najrýchlejšie riešenie.

Odkaz

lucka14lucky · 04. 10. 2011 23:08

Dívala jsem se na ten odkaz, a tam se mluví o rovnici kružnice - kterou jsme se nejspíš ještě neučili nikdy..ale o to by nešlo.
Ale nějak z toho nemůžu "vydedukovat jak na ten poloměr a souřadnice středu přijít. Neexistuje jiné řešení? které bych mohla zkusit? Díky

jelena · 04. 10. 2011 23:21

↑ lucka14lucky:

Zdravím,

myšlenku ohledně os stran máš dobře - osy stan budeme zapisovat jako přímky v obecném tvaru. Potřebuješ souřadnici středu jedné strany S1 (např. střed úsečky AB) a rovnici přímky procházející bodem S1 (přičemž AB je normálový vektor hledané přímky). Obdobným způsobem sestavíš rovnici přímky procházející středem BC, vektor BC je normálový pro takovou přímku.

Průsečík přímek dá střed opsané kružnice (souřadnice). Vzdálenost středu a některého z bodů (A, B nebo C dá poloměr).

Stačí to tak? Děkuji.

((:-)) · 05. 10. 2011 11:31 — Editoval ((:-)) (05. 10. 2011 13:32)

↑ lucka14lucky:

Len drobné poznámky:

1.

Stred kružnice hľadáš tak, ako by si ho hľadala rysovaním (na dvoch stranách by si zvolila ich stredy a zostrojila osi tých strán (kolmice k stranám vedené cez ich stred) - priesečník osí strán je stred trojuholníku opísanej kružnice). Presne tak isto sa postupuje pri hľadaní stredu analytickou cestou, postup Ti popísala Jelena.

Na obrázku nemáš dobre vyznačené osi strán.

Prechádzajú s t r e d o m danej strany a sú na príslušnú stranu k o l m é (možno to v skutočnosti vieš, ale na obrázku to nevidno). Tvoje "osi" vychádzajú z vrcholov trojuholníka...

Odtiaľ pochádza aj rada od Jeleny. Stredy strán máš zistené, treba len cez ne viesť kolmé priamky ako radí Jelena a následne vyrátať súradnice ich priesečníka.

2.

V rovnici kružnice sú "zašifrované" aj súradnice stredu kružnice a jej polomer. Priamo ich vidno v stredovej rovnici kružnice.

Samozrejme, ak ste sa ešte rovnicu kružnice neučili, bola Ti moja rada nanič.

Cheop · 05. 10. 2011 14:38 — Editoval Cheop (05. 10. 2011 15:00)

↑ lucka14lucky:
1) Střed kružnice opsané trojúheníku leží v průsečíku os stran tohoto trojúhelníku
2) Poloměr předmětné kružnice je vzdálenost tohoto středu od jakéhokoliv z vrcholů trojúhelníku.
Známe:
Souřadnice všech vrcholů tj: K=(4; 3) L=(-3; 2) M=(1; -6)
ad1) Souřadnice středu určíme jako průsečík 2 os stran (budeme mít 2 rovnice o 2 neznámých)
Osa strany prochází středem strany a je na tuto stranu kolmá.
a) Určíme nejdříve středy 2 stran:
Střed strany KL $S_{KL}=\left(\frac{4-3}{2};\,\frac{3+2}{2}\right)=\left(\frac 12;\,\frac 52\right)$
Střed strany KM $S_{KM}=\left(\frac{4+1}{2};\,\frac{3-6}{2}\right)=\left(\frac 52;\,-\frac 32\right)$
b) Určíme rovnice os stran KL a KM
Osa strany KL
Směrový vektor strany KL bude normálovým vektorem osy a bude procházet středem strany KL tedy:
$\vec{KL}=(4-(-3);\,3-2)=(7;\,1)$
Směrový vektor strany KM bude normálovým vektorem osy a bude procházet středem strany KM tedy:
$\vec{KM}=(4-1;\,3-(-6))=(3;\,9)=(1;\,3)$
Rovnice osy strany KL bude mít rovnici:
$7x+y+c=0$ - dosazením souřadnic středu strany dopočítáme c tj:
$7\cdot\frac 12+1\cdot\frac 52+c=0\\c=-6$
$7x+y-6=0$
Rovnice osy strany KM bude mít rovnici:
$x+3y+c=0$ - dosazením souřadnic středu strany dopočítáme c tj:
$1\cdot\frac 52+3\cdot-\frac 32+c=0\\c=2$
$x+3y+2=0$
Střed kružnice určíme řešením soustavy rovnic:
$x+3y=-2\\7x+y=6\\x=1\\y=-1$
Střed má souřadnice:
$S=(1;\,-1)$
Poloměr kružnice bude vzdálenost středu S od jednoho z vrcholů (např. K) - vzdálenost 2 bodů
$r=\sqrt{(4-1)^2+(3-(-1))^2}\\r=\sqrt{3^2+4^2}\\r=5$
Řešení:
$S=(1;\,-1)\\r=5$