Matematické Fórum

r2d2 · 07. 10. 2011 16:48

Ahoj, chtěl bych poprosit o radu s touto limitou:
$\lim_{x\to1^-} \left( \frac{\sqrt{x^2 + 8}-3}{1-x} \right)$ po dosazení jem dostal $\left[ \frac{3-3}{0^+} \right] = 0$ Jenže wolfram říká, že to je $-\frac{1}{3}$ a já nemůžu přijít na to, kde se v tak jednoduchém případě stala chyba. Zkoušel jsem to počítat na tři možné způsoby a pořád docházím k tomu, že to je $0$ . Ale grafově to odpovídá. Jenže to je zase graf ve wolframu. Mohl by mi někdo prosím vysvětlit, kde se tam stala chyba?

Díky moc

Rumburak

Toto $\left[ \frac{3-3}{0^+} \right] = 0$ je z povahy věci špatně, dosazením se limita (zprava, zleva) počítá pouze v případech, kdy je funkce
v daném bode spojitá (zprava, zleva) a limita (zprava, zleva) se pak rovná funkční hodnotě.
V našem příkladě funkce není spojitá zleva v bodě 1, protože v tomto bodě není defininovaná. Zde pomůže rozšířit zlomek výrazem
$\sqrt{x^2 + 8}+3$ a teprve pak - po úpravě a vykrácení výrazem 1 - x - takovou funkci dostaneme.

r2d2 · 07. 10. 2011 17:06

↑ Rumburak:
Teď když jsem si přečetl

dosazením se limita (zprava, zleva) počítá pouze v případech, kdy je funkce
v daném bode spojitá

, jako by do mě udeřil hrom. Toto jsem úplně vypustil z hlavy! Jeden z těch způsobů bylo i to rozšíření. Takže dostanu toto:
$\lim_{x\to1^-} \left( \frac{x^2 + 8 -9}{(1-x)(\sqrt{x^2+8}+3} \right)$ . Můžu poprosit o nápovědu co s tím dále?

LukasM · 07. 10. 2011 17:14 — Editoval LukasM (07. 10. 2011 17:14)

↑ r2d2:
No, v čem byl původně problém? V tom, že funkce není v jedničce definovaná. Proč tam není definovaná? Kvůli tomu výrazu ve jmenovateli. Tak se zamysli nad tím, jestli by se ho nešlo nějak zbavit (toho výrazu, tedy (1-x)).

r2d2 · 07. 10. 2011 17:17

↑ LukasM:Už mě něco napadlo tak na tom dělám .... Jinak původně byl problém že jsem sice rozšířil, ale pak příliš brzo dosazoval a na to, že dosazovat nemůžu jsem úplně zapomněl.

r2d2 · 07. 10. 2011 17:22 — Editoval r2d2 (07. 10. 2011 17:23)

Tak bohužel, mám v tom guláš ... , tedy nevím jak se toho x zbavit. A jak do něj dosadím, jsem tam kde jsem byl, zase u nuly.

r2d2 · 07. 10. 2011 17:33 — Editoval r2d2 (07. 10. 2011 17:34)

$\lim_{x\to1^-} \left( \frac{x^2 + 8 -9}{(1-x)(\sqrt{x^2+8}+3} \right) = \lim_{x\to1^-} \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(-1)(x - 1)(\sqrt{x^2+8}+3)} \right)$ je to takhle? Myslím, že ano. To se se mnou táhnou problémy ze střední školy. No jo.
Díky za pomoc. Teď už to pokrátím a mělo by to snad být dobře.

LukasM · 07. 10. 2011 17:36

↑ r2d2:
Ano, to vypadá dobře.

Hlavně si pamatuj, že z "0/0" nejde dělat žádný závěr. Viz třeba tohle, od příspěvku #10.

r2d2 · 07. 10. 2011 17:41 — Editoval r2d2 (07. 10. 2011 17:43)

↑ LukasM:Díky, musím na tom ještě hodně zapracovat, jinak to nebude pěkné.

...

A vyšlo to!

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2011 16:48

Limita zleva

#2 07. 10. 2011 16:58 — Editoval Rumburak (07. 10. 2011 17:01)

Re: Limita zleva

#3 07. 10. 2011 17:06

Re: Limita zleva

#4 07. 10. 2011 17:14 — Editoval LukasM (07. 10. 2011 17:14)

Re: Limita zleva

#5 07. 10. 2011 17:17

Re: Limita zleva

#6 07. 10. 2011 17:22 — Editoval r2d2 (07. 10. 2011 17:23)

Re: Limita zleva

#7 07. 10. 2011 17:33 — Editoval r2d2 (07. 10. 2011 17:34)

Re: Limita zleva

#8 07. 10. 2011 17:36

Re: Limita zleva

#9 07. 10. 2011 17:41 — Editoval r2d2 (07. 10. 2011 17:43)

Re: Limita zleva

Zápatí