Matematické Fórum

vanok · 05. 05. 2012 19:17

Pozdravujem
Tak uz je tu majovy problem http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/
Celkom zabavny!

vanok · 17. 05. 2012 13:20

pozdravujem
Zabavny pekny problem z aritmetiky
Urcite pocet kladnych delitelov csla $n^2$ ktore su mensie ano $n$ a ktore nie su delitelmy cisla $n$ .

BakyX · 18. 05. 2012 00:36 — Editoval BakyX (18. 05. 2012 00:38)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Čo je prosím na tom pekné :) ?

vanok · 20. 05. 2012 14:00

↑ BakyX:
Ten vysledok je podla mna celkom pekny.
Bravo za tvoje riesenie.

Inac ten vysledok sa da napisat aj takto:
$\frac{del(n^2)-1}{2}-del(n)+1$
ked $del(n^2); del(n)$ je pocet delitelom cisiel $n^2;n$

vanok · 02. 06. 2012 15:29

↑ vanok:
tu je riesenie majoveho problemu ( anl. verzia)
http://mathcentral.uregina.ca/mp/previo … y12sol.php

vanok · 05. 06. 2012 12:51

Dva rekreacne problemy od P. Erdös-a

Nech $( a_1, . . . , a_{n+1})$ su cele cisla rozdielne medzi sebou v $\{1, . . . , 2n \}$
a) Dokazte ze existuju 2 rozne $i$ a $j$ take ze $a_i$ a $a_j$ su nesudelitelne.
b) Dokazte ze existuju 2 rozne $i$ a $j$ take ze $a_i$ deli $a_j$ .

vanok · 07. 06. 2012 15:03 — Editoval vanok (07. 06. 2012 15:07)

Jedno, pekne cvicenie, z teorie grup.

Predpokladajme, ze:
$G$ je konecna grupa radu n
a $f :G \rightarrow G$ jeden automorfismu grupy $G$ .
Polozme $E = \{x \in G | f (x) = x^{-1}\}$
a naviac, ze pocet prvkov mnoziny $E$ je vädci ako n/2.
Dokazte ze f je involucia.

check_drummer · 09. 06. 2012 16:15

↑ vanok:
Ahoj,
vzhledem k tomu, že f je automorfismus, tak pro $x \in E$ platí: $f(x^{-1})=f^{-1}(x)=x=(x^{-1})^{-1}$ , tj. $x^{-1} \in E$ .
Označme X jako pogrupu generovanou množinou E. Zřejmě je X=G, protože E má víc než n/2 prvků (a stačí použít Lagrangeovu větu). Tedy každý prvek $y \in G$ lze vyjádřit jako $y=\prod{x_i}$ pro $x_i \in E$ . Z toho, že f je automorfismus a z vlastností prvků E, dostaneme: $f(f(y))=f(\prod{f(x_i}))=f(\prod{x_i^{-1}})=\prod{f(x_i^{-1})}=\prod{x_i}=y$ .

check_drummer · 09. 06. 2012 16:31

↑ vanok:
Ahoj. K b): vyjádříme každé číslo $a_i$ jako $2^{b_i}.c_i$ pro $c_i$ liché a rozdělíme čísla do tříd, kde v každé třídě mají čísla stejnou hodnotu $c_i$ . Tříd je n, čísel n+1, takže existují dvě čísla ve stejné třídě - potom tedy jedno z nich dělí druhé.

vanok · 10. 06. 2012 00:02

↑ check_drummer:,
Ano to je dokaz pre $card E >\frac n2$
A ako je to ked $card E =\frac n2$ ?

vanok · 10. 06. 2012 00:05

↑ check_drummer:
a) je tiez "jednoduche", vdaka Diriclet, vieme, ze v $( a_1, . . . , a_{n+1})$ su aspon dve nasledujuce cisla.
A tak vdaka Bezout, su nesuleditelne.

check_drummer · 10. 06. 2012 10:28

↑ vanok:
Ahoj, řešení a) mě napadlo před chvílí. Stejné jako vidím u tebe.

OiBobik

↑ vanok:

Ahoj,

chtěl jsem se zeptat, ty máš řešení pro případ $|E|=\frac{n}{2}$ (přesněji: $|E|=\frac{n}{2}$ a $E$ tvoří podgrupu)?
Já bych řekl, že tam to platit nemusí (tj. že $\exists E \leq G$ konečné grupy takové, že $[G:E] =2$ a $\exists f \in Aut(G): f^2 \restriction_{E}=\mathrm{id}_E \wedge f^2\neq \mathrm{id}_G$ ), ale hledání protipříkladu bude asi dost obtížné.

vanok · 11. 06. 2012 17:42 — Editoval vanok (11. 06. 2012 22:56)

↑ OiBobik:
Ahoj, to plati aj pre tu rovnost.
$|E|=\frac{n}{2}$ .
Tu mas jeden dokaz:
uvazujme $H$ podmnozinu grupy $G$ vytvorenu pevnymy bodmy $f^2$
$H$ je pochopitelne podgrupa grupy $G$ a to je najvadcia podgrupa na ktorej f je involucia.
$H$ obsahuje mnozinu $E$ .
$\frac n2 \leq |E|\leq |H|$

Predpokladajme, ze $|H| = \frac n2$ , a vtedy $E=H$ ;a index $H$ je $2$ v grupe $G$ .
Nech je $x \in \frac GH$ , take, ze $G$ je disjunktne zjednotenie $H$ a $xH$
Akoze $f$ je bijektivna, a $H$ je f-stabilna,
tak $xH$ je tiez f-stabilne

Pre take $x$ , existuje $h \in H$ take ze $f(x)=xh$ .
Ale potom $f^2(x)=f(xh)=f(x)f(h)=xhh^{-1}=x$
To znamena, ze $x\in H$ , co je spor.

Z toho mame
$|H| > \frac n2$ , no vsak $|H|$ musi delit $n$ , tak $|H|=n$
Konkluzia $H=G$ a $f$ je involucia na $G$ .

OiBobik · 11. 06. 2012 17:55

↑ vanok:

Díky, nedocházel mi ten krok $f^2(x)=f(xh)$ . To je chytré : ))

vanok · 11. 06. 2012 18:11

↑ OiBobik:
Mam aj ine, co su tiez "pekne", mam tu take dat z casu na cas?

OiBobik · 11. 06. 2012 18:24

↑ vanok:

Pakliže myslíš nějaké takovéto problémky, tak já bych byl určitě pro : ))

check_drummer · 11. 06. 2012 20:26

↑ vanok:
Ahoj, určitě podobné problémy rádi uvítáme - jen bych se přimlouval za to, aby každý problém měl své vlastní vlákno (téma, příspěvek).

vanok · 11. 06. 2012 20:29

↑ check_drummer:,
Ano, ale tu davam tie najkrajsie ( podla mna )
Inac pochopitelne nebudem vahat otvorit vzdy nove vlakno.

check_drummer · 11. 06. 2012 20:48

↑ vanok:
Ahoj, asi máš v textu drobný překlep: nerovnosti jsou zde opačně: $|H|\leq |E| \leq \frac n2$ .

vanok · 11. 06. 2012 20:54

↑ check_drummer:
ten predpoklad mi dal spor, tak preto plati opacna nerovnost...

check_drummer · 11. 06. 2012 21:06

↑ vanok:
Ale pokud H obsahuje E, pak je nutně $|H|\geq |E|$ . Rovněž předpokládáme (je to předpoklad celého tvrzení), že $|E| \geq \frac n2$ a tedy $|H|\geq \frac n2$ . Jestli jsem
myšlenku důkazu pochopil správně, tak pro spor předpokládáme, že místo obou nerovností je rovnost, tj. $|H| = \frac n2$ .

vanok · 11. 06. 2012 21:14

nie, lebo som ukazal, ze x, ktore je v xH musi patrit do H, a tak |H| = n ( to je ta kontradikcia)
ale predpoklad bol tiez: Bud $x \in \frac GH$ , $G$ je disjunktne zjednotenie $H$ a $xH$

check_drummer · 11. 06. 2012 22:21

↑ vanok:
Takže abychom si to shnuli: která z obou nerovností je špatně?
1) $|H|\geq |E|$
2) $|E| \geq \frac n2$
Děkuji

vanok · 11. 06. 2012 23:06 — Editoval vanok (12. 06. 2012 08:56)

↑ check_drummer:

Obidve su spravne.
1) $|H|\geq |E|$ vdaka definici H
2) $|E| \geq \frac n2$ to je hypoteza.

Inac mal som preklep v mojom preklade do SK (lebo som to nacmaral po FR, a z toho som to prelozil ...ale v preklade uz som nerozmyslal co som mal v originale... lebo matematiku myslim po FR)

Zda sa mi ze to sedi teraz ako treba.
Klucova myslienka, myslim si, je uvazovat tu grupu H.

Tak dobru noc.

Matematické Fórum

#76 05. 05. 2012 19:17

Re: najkrajsia teorema

#77 17. 05. 2012 13:20

Re: najkrajsia teorema

#78 18. 05. 2012 00:36 — Editoval BakyX (18. 05. 2012 00:38)

Re: najkrajsia teorema

#79 20. 05. 2012 14:00

Re: najkrajsia teorema

#80 02. 06. 2012 15:29

Re: najkrajsia teorema

#81 05. 06. 2012 12:51

Re: najkrajsia teorema

#82 07. 06. 2012 15:03 — Editoval vanok (07. 06. 2012 15:07)

Re: najkrajsia teorema

#83 09. 06. 2012 16:15

Re: najkrajsia teorema

#84 09. 06. 2012 16:31

Re: najkrajsia teorema

#85 10. 06. 2012 00:02

Re: najkrajsia teorema

#86 10. 06. 2012 00:05

Re: najkrajsia teorema

#87 10. 06. 2012 10:28

Re: najkrajsia teorema

#88 11. 06. 2012 13:52 — Editoval OiBobik (11. 06. 2012 16:33)

Re: najkrajsia teorema

#89 11. 06. 2012 17:42 — Editoval vanok (11. 06. 2012 22:56)

Re: najkrajsia teorema

#90 11. 06. 2012 17:55

Re: najkrajsia teorema

#91 11. 06. 2012 18:11

Re: najkrajsia teorema

#92 11. 06. 2012 18:24

Re: najkrajsia teorema

#93 11. 06. 2012 20:26

Re: najkrajsia teorema

#94 11. 06. 2012 20:29

Re: najkrajsia teorema

#95 11. 06. 2012 20:48

Re: najkrajsia teorema

#96 11. 06. 2012 20:54

Re: najkrajsia teorema

#97 11. 06. 2012 21:06

Re: najkrajsia teorema

#98 11. 06. 2012 21:14

Re: najkrajsia teorema

#99 11. 06. 2012 22:21

Re: najkrajsia teorema

#100 11. 06. 2012 23:06 — Editoval vanok (12. 06. 2012 08:56)

Re: najkrajsia teorema

Zápatí