Matematické Fórum

lukasek09 · 09. 10. 2011 15:23

Dobrý den,

potřeboval bych poradit s tímto příkladem :

Bod se pohybuje po kruhové dráze rychlostí v0. Vektor jeho zrychlení svírá s vektorem rychlosti na začátku pohybu úhel alfa. Úhlové zrychlení je konstantní. Určete za jak dlouho opíše bod celou kružnici o poloměru R.
v0 =1m/s, alfa = 30°, R = 1m

Sedím nad tím docela dlouho a netuším jak ho zpočítat....

Za nápady děkuji

zdenek1 · 09. 10. 2011 16:38

↑ lukasek09:

Počáteční normálové zrychlení je $a_{n0}=\frac{v_0^2}R$
dále v červeném obdélníku
$a_t=a_{n0}\,\mathrm{cotg}\,\alpha$

takže $a_t=\frac{v_0^2}R\,\mathrm{cotg}\,\alpha$

jedná se zovnoměrně zrychlený pohyb, jehož dráha je
$s=v_0t+\frac12at^2$
to je vzhledem k proměnné $t$ kvadratická rovnice $\frac12at^2+v_0t-s=0$ jejíž řešení je
$t=\frac{-v_0+\sqrt{v_0^2+2as}}a$ (záporným řešením se nemusíme zabývat)

za $a$ dosadíme $a_t$ a za $s$ obvod kružnice $s=2\pi R$

$t=\frac{\sqrt{v_0^2+2\frac{v_0^2}R\,\mathrm{cotg}\,\alpha 2\pi R}-v_0}{\frac{v_0^2}R\,\mathrm{cotg}\,\alpha}=\frac R{v_0}(\sqrt{1+4\pi\,\mathrm{cotg}\,\alpha}-1)\tan\alpha$