Matematické Fórum

Pavel Brožek · 11. 10. 2011 00:45

Nechť A je unitární matice 3x3 (tj. platí $AA^\dagger\equiv A(A^*)^{\mathrm T}=1$ ). Protože je matice unitární, platí pro její řádky a sloupce relace ortogonality. Vezměme si jednu takovou relaci pro dva různé řádky (nebo pro dva různé sloupce). Relace má tvar součtu tří členů, který se rovná nule. Vyberme si dva členy ze součtu, označme je x a y. V Gaussově rovině si vynesme vektory x a y. Sestrojme trojúhelník se stranami, které budou tvořit vektory x, y a spojnice konců vektorů x a y.

Dokažte, že obsah trojúhelníku nezávisí na tom, kterou relaci ortogonality jsme zvolili a které dva členy jsme z ní vybrali.

vanok · 31. 10. 2011 19:33

Ahoj ↑ Pavel Brožek:,
Mohol by si, prosim, dat jeden priklad z konkretnou maticov.
Dakujem.
Srdecne Vanok

Pavel Brožek · 31. 10. 2011 20:42

↑ vanok:

Ahoj, nebude to hezký příklad, žádný hezký bohužel nemám připravený. Vezměme si unitární matici

$A=\left( \begin{array}{ccc} \frac{2-\textrm{i}}{\sqrt{7}} & \frac{\textrm{i}}{\sqrt{7}} & -\frac{1}{\sqrt{7}} \\ \frac{\textrm{i}}{2 \sqrt{7}} & -\frac{5-\textrm{i}}{4\sqrt{7}} & -\frac{1-9 \textrm{i}}{4\sqrt{7}} \\ \frac{1+3 \textrm{i}}{2\sqrt{10}} & \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} & -\frac{1-2\textrm{i}}{2\sqrt{10}} \end{array} \right)$

Ortogonalita například druhého a třetího sloupce znamená, že

$\left(\frac{\textrm{i}}{\sqrt{7}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^*+\left(-\frac{5-\textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)\left( -\frac{1-9 \textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)^*+\left( \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right)\left(-\frac{1-2\textrm{i}}{2\sqrt{10}}\right)^*=0$

Ze součtu na levé straně si vyberme první a druhý člen, tedy

$x&=\left(\frac{\textrm{i}}{\sqrt{7}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^*=-\frac{\textrm{i}}{7}\\ y&=\left(-\frac{5-\textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)\left( -\frac{1-9 \textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)^*=\frac{7+22 \textrm{i}}{56}$

V Gaussově rovině čísla x a y představují vektory na obrázku:

Trojúhelník, o kterém výše mluvím, je tedy ten vyšrafovaný trojúhelník. Jeho obsah je $\frac1{112}$ .

Pro změnu si vezměme relaci ortogonality prvního a druhého řádku matice:

$\left( \frac{2-\textrm{i}}{\sqrt{7}}\right)\left( \frac{\textrm{i}}{2 \sqrt{7}}\right)^*+\left( \frac{\textrm{i}}{\sqrt{7}}\right)\left( -\frac{5-\textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)^*+\left(-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\left(-\frac{1-9 \textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)^*=0$

Z ní si vezměme třeba druhý a třetí člen, tedy

$x&=\left( \frac{\textrm{i}}{\sqrt{7}}\right)\left( -\frac{5-\textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)^*=-\frac{1+2\mathrm{i}}{14}\\ y&=\left(-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)\left(-\frac{1-9 \textrm{i}}{4\sqrt{7}}\right)^*=\frac{1-5\mathrm{i}}{28}$

V Gaussově rovině to nyní bude vypadat takto:

Je zajímavé, že obsah trojúhelníku opět vyjde $\frac1{112}$ :-).

vanok · 01. 11. 2011 13:15 — Editoval vanok (02. 11. 2011 14:46)

Ahoj ↑ Pavel Brožek:,

Pozeral som tvoj prispevok,
Zda sa mi ze jedna stopa na dokaz invariantnej plochy trojuholnika S, je pouzitie determinantu co ju vyjadruje vdaka suradnivam jeho vrcholov.
Ak budem mat iinu inspiraciu napisem tu.

Srdecne Vanok

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2011 00:45

Obsah trojúhelníků sestrojených pomocí matice

#2 31. 10. 2011 19:33

Re: Obsah trojúhelníků sestrojených pomocí matice

#3 31. 10. 2011 20:42

Re: Obsah trojúhelníků sestrojených pomocí matice

#4 01. 11. 2011 13:15 — Editoval vanok (02. 11. 2011 14:46)

Re: Obsah trojúhelníků sestrojených pomocí matice

Zápatí