Matematické Fórum

lukasgal · 11. 10. 2011 21:28

Dobrý den,
prosím potřeboval bych nakopnout. Mám funkci y=4x-3, x je prvkem množiny R a mám DOKÁZAT, že funkce je prostá a k ní vytvořit inverzní funkci. Nevím, jak to dokázat. Děkuji moc za každý nápad.

mikl3 · 11. 10. 2011 21:31

↑ lukasgal: dokaž, že je monotónní

lukasgal · 11. 10. 2011 21:52

↑ mikl3:
Obávám se že bych spíš potřeboval poradit s tím, jak se něco dokazuje. Tedy já bych napsal něco jako $y_1=1$ $\Rightarrow$ $x_1=(y+3)/4=1$ $\wedge$ $y_2 = 5$ $x_2 = (5+3)/4$ $\Rightarrow$ FUNKCE JE ROSTOUCÍ.

mikl3 · 11. 10. 2011 22:15 — Editoval mikl3 (11. 10. 2011 22:15)

↑ lukasgal: zápis mi přijde trochu podivný, ty implikace...
třeba takhle
$\forall x_1,x_2 \in Df, x_1\neq x_2; f(x_1)\neq f(x_2)$

Oxyd · 11. 10. 2011 22:27

Vůbec nechápu, co se tím snažíš říct (jednou ti tam zůstalo y, podruhé ne) a už vůbec ne, jak by to dokazovalo, že fce je rostoucí. Nemůžeš si přece zvolit jen tak dva body, řekněme y1, y2, takové, že y1 < y2, zjistit, že f(y1) < f(y2) a pak hlásat, že fce je rostoucí. Vem si například $f(x) = x^2$ -- když použiju tvůj postup, tak si vezmu třeba y1 = 1, y2 = 2, skutečně platí y1 < y2, taky platí f(y1) = 1, f(y2) = 4, tzn. f(y1) < f(y2), takže teď bys tvrdil, že parabola je rostoucí.

Já osobně bych to asi dokazoval tak, že bych vzal rovnici $4x_1 - 3 < 4x_2 - 3$ , pak ji ekvivalentními úpravami převedl na $x_1 < x_2$ , čímž bych vlastně měl dokázanou ekvivalenci $4x_1 - 3 < 4x_2 - 3 \iff x_1 < x_2$ , což už ale z definice znamená, že je to fce rostoucí.

lukasgal · 11. 10. 2011 22:39

↑ mikl3:
No uznávám, že to není to pravé ořechové:-) Jasně, že to vypadá divně. Jen mi šlo o to, že bych to dokázal tak, že když $x_1=1$ a $x_2=4$ tak funkce je rostoucí a tudíž je nejspíš i prostá. Co by tedy mělo být tím důkazem? Jen tato $\forall x_1,x_2 \in Df, x_1\neq x_2; f(x_1)\neq f(x_2)$ definice nebo i to že když $x_1=1$ a $x_2=4$ tak funkce je rostoucí a tudíž je nejspíš i prostá?

Oxyd · 11. 10. 2011 22:41

↑ lukasgal:

Dodávám, že když je fce rostoucí, tak je prostá zcela určitě, ne jen nejspíš.

lukasgal · 11. 10. 2011 23:02

↑ Oxyd:
Jo taky sem si všiml, že ta rovnice je špatně. Nikdy jsem to nedělal, takže to byl fakt jen takový záchvěv :-)
Pokud bych tedy důkaz provedl tou ekvivalenci, tak mám dokázané, že je rostoucí => je prostá, že? Inverzní funkce původní funkce $f y: 4x-3$ bude tedy $f^{-1} x: 4y-3$ A definiční obor a obor hodnot bude $D(f^{-1}) = H(f)$ a $H(f^{-1}) = D(f)$
Je to tak?

Oxyd · 11. 10. 2011 23:05 — Editoval Oxyd (11. 10. 2011 23:06)

Definiční obor a obor hodnot máš správně, to ano. Ale s tím vzorečkem pro inverzní funkci to nebude až tak snadné. (Ale ani složité.) Obecný postup pro hledání vzorečku pro inverzní fci je ten, že vezmeš ten vzoreček pro původní fci -- v našem případě $y = 4x - 3$ , přepísmenkuješ y a x, takže máš $x = 4y - 3$ , z téhle rovnice vyjádříš y a tím máš ten vzoreček pro $f^{-1}$ . Nesmíš zapomenout na to vyjádření y z nové rovnice.

lukasgal

↑ Oxyd:
Tedy $y = (3+x)/4$ je inverzní funkce a plati tedy $D(f^{-1}) = H(f)$ $H(f^{-1}) = D(f)$ . Díky moc všem. Už asi chápu.

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2011 21:28

Důkaz prosté funkce

#2 11. 10. 2011 21:31

Re: Důkaz prosté funkce

#3 11. 10. 2011 21:52

Re: Důkaz prosté funkce

#4 11. 10. 2011 22:15 — Editoval mikl3 (11. 10. 2011 22:15)

Re: Důkaz prosté funkce

#5 11. 10. 2011 22:27

Re: Důkaz prosté funkce

#6 11. 10. 2011 22:39

Re: Důkaz prosté funkce

#7 11. 10. 2011 22:41

Re: Důkaz prosté funkce

#8 11. 10. 2011 23:02

Re: Důkaz prosté funkce

#9 11. 10. 2011 23:05 — Editoval Oxyd (11. 10. 2011 23:06)

Re: Důkaz prosté funkce

#10 12. 10. 2011 00:29 — Editoval lukasgal (12. 10. 2011 00:30)

Re: Důkaz prosté funkce

Zápatí