Matematické Fórum

Ceeper · 15. 10. 2011 18:08

Zdravim,
potřeboval bych poradit s příkladem $Z= 5i*(6+2i)-(3+2i)^2 *i+27*e^{-i\frac{\Pi}{2}}$ (Z ma nad sebou ^, jen netusim jak to napsat).
Komplexní číslo Z mám vyjádřit v goniometrickém tvaru.
Goniometrický tvar znám, ale netuším, jak do něj tenhle příklad dostat. Komplexní čísla v příkladu můžu normálně roznásobit až do základního tvaru nebo to takhle udělat nejde? A největší problém, co nakonec s tim exponentem?

Pak ještě jeden příklad, ale to stačí jenom lehce nakopnout:
V rovině komplexních čísel mám řešit kvadratickou rovnici $3*(x^2+6x+10)=0$ Jednoduchá věc, jen si nejsem jistej, jestli tu závorku můžu trojkou roznásobit a nebo je postup uplně jinej.

Díky za rady

standyk

↑ Ceeper:

Pomocou tohto $e^{\pi i}=-1$ upravíš ten posledný člen.
V tom komplexnom čísle Z najprv všetko poroznásobuj a posčítaj čo sa dá, aby si dostal jednoduchý dvojčlen v tvare $Z=a+bi$ Potom už len upravíš na goniometrický tvar podľa vzorca...

Ten druhý príklad môžeš roznásobi,ť ale nemusíš. Výsledok to neoplyvní. Môžeš kľudne predeliť celú rovnicu číslom 3...

Ceeper · 15. 10. 2011 19:02

Parada, tak nejak sem to tusil, jen sem potreboval ujistit. Diky ti.

Jen k tomu $e^{\pi i}=-1$ TOhle je jeden vyraz, ale muj exponent je jinej. Ten uz -1 hadam nebude...

standyk

↑ Ceeper:

Operácie s mocninami. Po úprave:
$e^{-i\frac{\pi}{2}}=\color{red}e\color{black}^{-\frac12 \color{red}\pi i\color{black}} = (-1)^{-\frac12} = \frac1i=-i$

Posledný člen komplexného čísla Z bude teda $-27i$

Ceeper · 16. 10. 2011 00:43

Ty mocninny operace si budu muset zopaknout, vubec mi to nejde na rozum. Ale mozna to bude touhle nocni hodinou.
Jeste jednou diky moc :)

Ceeper · 05. 11. 2011 19:43

Můžeš mi prosimtě trochu vysvětlit postup při výpočtu toho -i?
První úprava exponentu je v pohodě, ale kam ve druhým kroku zmizelo to e, pi a i? A ten zbytek vzniknul jakým způsobem?
Jsou to nějaký elementární úpravy a nebo jde o použití vzorečku?

((:-)) · 05. 11. 2011 20:18 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 21:46)

↑ Ceeper:

$e^{\pi i}=-1$ - to je k tomu "zmiznutiu" e, pí, i: nahradilo sa to...

$e^{-i\frac{\pi}{2}}=\color{red}e\color{black}^{-\frac12 \color{red}\pi i\color{black}} = (\color{red}-1\color{black})^{-\frac12} = \frac{1}{(-1)^{\frac 12}}=\frac{1}{\sqrt{-1}}= \frac{1\cdot\color{blue}i}{i\cdot \color{blue}i}=\frac {i}{-1}= -i$

Ceeper · 05. 11. 2011 21:41

Jooo, to je mnohem lepší :))
Díky moc

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2011 18:08

Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#2 15. 10. 2011 18:40 — Editoval standyk (15. 10. 2011 18:50)

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#3 15. 10. 2011 19:02

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#4 15. 10. 2011 19:35 — Editoval standyk (15. 10. 2011 19:38)

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#5 16. 10. 2011 00:43

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#6 05. 11. 2011 19:43

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#7 05. 11. 2011 20:18 — Editoval ((:-)) (05. 11. 2011 21:46)

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

#8 05. 11. 2011 21:41

Re: Komplexní číslo -> goniometrický tvar

Zápatí