Matematické Fórum

Pajitko

Zdravím, za úkol máme dokázat indukcí, že výraz (n+1)^n -1 je dělitelný číslem n^2 pro všechna přirozená n, tedy

$n^2 \mid (n+1)^n - 1$

Platí pro n=1, ještě jsem zvládl napsat

$(n+1)^2 \mid (n+2)^{n+1} - 1$

ale z toho už se mi nepodařilo vytáhnout tu dělitelnost... Zkusil jsem roznásobit tu závorku vlevo a něco z toho vyčíst, ale jen se to ještě znepřehlednilo. Nepomohl ani trik na způsob L*k=P, nebo jsem nenašel ten správný. Není to důležité a není to povinný úkol, ale v důkazech nejsem moc dobrý a vrtá mi to hlavou. Kdyžtak díky!

Edit: Na té pravé straně to má být

(n+2) umocněno na (n+1)

ale nevím, jak TeX přinutit, aby s horním indexem napsal celou závorku...

Edit 2: Mocnina opravena, díky :-)

Phate · 16. 10. 2011 14:57

Doporucuji roznasobit podle binomicke vety pravou stranu, dostanes vyraz, kde bude prvnich n cinitelu obsahovat vyraz $n+1$ ve vyssi mocnine nez dvojce. Jaci budou ti dalsi cinitele?

marnes · 16. 10. 2011 15:09

↑ Pajitko:

ale nevím, jak TeX přinutit, aby s horním indexem napsal celou závorku...

Exponent dej do složených závorek

Pajitko · 16. 10. 2011 15:49

Aha, takže

$(n+2)^{n+1}$

nechám jako

$((n+1)+1)^{n+1}$

a rovnici přepíšu na

$(n+1)^2 \mid (n+1)^{n+1} + (n+1)^n + \cdot \cdot \cdot + (n+1) + 1 - 1$

Jedničky se vykrátí a zůstane mi řada členů, které jsou dělitelné levou stranou, a na konci $+(n+1)$ , které dělitelné není. Co mi ještě nedochází?

Phate · 16. 10. 2011 16:06

↑ Pajitko:
vynechavas ta kombinacni cisla, u predposledniho clene to bude ${n+1 \choose n}(n+1)^1 \cdot 1^{(n)}$

Pajitko · 16. 10. 2011 16:32

↑ Phate:

No jo, stačilo uvědomit si dvě věci, tak proč nezapomenout na obě :-) díky

byk7 · 16. 10. 2011 16:33

hele a není to náhodou zadání Brkosu??

Pro všechna přirozená čísla n dokažte $$9^n-2\cdot3^n+1$|$3^{n\(3^n-1$}-1\)$ ty máš jenom substituci $a:=3^n-1$

Pajitko · 16. 10. 2011 16:36

↑ byk7:

Tak to nevím, nám to dali za úkol v semináři. Možná to mají odsud, ale o tohle mi zrovna nešlo. Navíc, mě by snad ani ta substituce nenapadla...

byk7 · 16. 10. 2011 16:37

↑ Pajitko: hm...
ale každopádně to odpovídá

Pajitko · 16. 10. 2011 16:53

↑ byk7:
Aha, brkos organizuje PřF MU. Tak to nebude náhoda, tam právě chodím. No jestli chceš, můžu ti poslat soubor se zadáním, a jinak to teda smažte, než toho někdo zneužije.

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2011 14:54 — Editoval Pajitko (16. 10. 2011 15:51)

Důkaz dělitelnosti indukcí

#2 16. 10. 2011 14:57

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#3 16. 10. 2011 15:09

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#4 16. 10. 2011 15:49

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#5 16. 10. 2011 16:06

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#6 16. 10. 2011 16:32

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#7 16. 10. 2011 16:33

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#8 16. 10. 2011 16:36

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#9 16. 10. 2011 16:37

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

#10 16. 10. 2011 16:53

Re: Důkaz dělitelnosti indukcí

Zápatí