Matematické Fórum

chloe · 17. 10. 2011 20:36

Dobrý večer,
potřebovala bych poradit jak dokázat pomocí goniometrických vzorců pravidlo o dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru. Je to takové to že se dělí velikosti čísel a pak se odečítají cosiny a siny úhlů těch čísel.

Předem moc děkuji

Chloé

frank_horrigan

Mohu tě trochu popostrčit (celé se mi to, upřímně řečeno, řešit nechce)

Stačí, když si uvědomíš, že komplexní číslo v obecném tvaru $z = a + bi$ vyjadřuje fakt, že hodnota $a$ ti dělá souřadnici na x-ové ose, kdežto $b$ na té y-ové. ( $i$ jen říká, že se jedná o gaussovu rovinu pro komplexní čísla). Tento systém je pravoúhlý, a toho se dá obecně využít. Když si kartézské souřadnice dáš do polárních, dostaneš goniometrický tvar, který je ekvivalentní tomu obecnému. Goniotvar je $a + cos\phi$ . Podle toho si odvodíš a dokážeš, jak funguje dělení čísel, a jak fungují vlastnosti sinu a cosinu v pravoúhlém trojúhelníku

EDIT: pardon za překlepy, bylo trochu alkoholu

Rumburak

↑ chloe:
Základem vzorce pro dělení může být vzorec pro násobeni, který si odvodíme:

$ab =|a|(\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha) \cdot |b|(\cos \beta + \mathrm{i} \sin \beta) = |a|\, |b|\, (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha) (\cos \beta + \mathrm{i} \sin \beta) = \\=|a|\, |b|\left((\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + \mathrm{i} (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \right) = ...$ ,

dokončení spočívá v dosazení

$\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = ...$ , $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = ...$

podle součtových vzorců z teorie giniometrických funkcí (chtěl jsem něco ponechat i Tvé snaze :-)).

Přímá cesta ke vzorci pro dělení je také možná: zlomek $\frac {|c|(\cos \gamma + \mathrm{i} \sin \gamma) }{|d|(\cos \delta + \mathrm{i} \sin \delta) }$ rozšíříme výrazem $\cos \delta - \mathrm{i} \sin \delta$
(součin s $\cos \delta + \mathrm{i} \sin \delta$ je 1), čitatele upravíme obdobným způsobem jako výše.

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2011 20:36

komplexní čísla odvození

#2 17. 10. 2011 21:31 — Editoval frank_horrigan (17. 10. 2011 21:32)

Re: komplexní čísla odvození

#3 18. 10. 2011 11:11 — Editoval Rumburak (18. 10. 2011 11:37)

Re: komplexní čísla odvození

Zápatí