Matematické Fórum

undertabler · 23. 10. 2011 06:19

Zdravim,

nasel jsem priklad z drivejsich let pred blizicim se testem a nejsem schopen hnout s timto prikladem. Za jakoukoliv pomoc budu rad. Diky

Najdete maximum funkce f(x, y) = x * y na kružnici o poloměru 1 a středu v bodě
[0, 1]

kompik · 23. 10. 2011 09:58 — Editoval kompik (23. 10. 2011 10:00)

Riešenie bez použitia Lagrangeových multiplikátorov:

Ak poznáš nerovnosti medzi priemermi ( $k\ge a \ge g \ge h$ ; kvadratický, aritmetický, geometrický, harmonický), tak pre dve premenné máme:

Ak $x,y\ge 0$ , tak $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}2 \le \sqrt{\frac{x^2+y^2}2}$ ; pričom rovnosť nastáva práve pre $x=y$ . Všeobecne napríklad tu: http://www.artofproblemsolving.com/Wiki … Inequality

V našom prípade: $xy\le \frac{x^2+y^2}2=\frac12$ a rovnosť nastáva pre $x=y=\frac{\sqrt2}2$ . Týmto je to vyriešené pre $x,y\ge0$ . Zo symetrie dostaneme ešte jedno maximum pre $x=y=-\frac{\sqrt2}2$ .

**************

Riešenie cez multiplikátory je tiež vcelku ľahké.

Dostaneš 3 rovnice:

$x^2+y^2=1$

$y+2\lambda x=0$

$x+2\lambda y=0$

Z druhej a tretej máš $y=(2\lambda)^2y$ . To znamená, že buď $y=0$ , alebo $2\lambda=\pm 1$ . Ľahko sa presvedčíš o tom, že $y=0$ nie je maximum ani minimum. Zostáva teda $x=\pm y$ , čo znovu vedie k~riešeniu, ktoré som dal vyššie.

****************

Záver: V bodoch $x=y$ , $y=\pm\frac{\sqrt2}2$ maximum s hodnotou $f(x,y)=\frac12$ . V bodoch $x=-y$ , $y=\pm\frac{\sqrt2}2$ minimum s hodnotou $f(x,y)=-\frac12$ .

*******************

Geometrickej predstave pomôže, ak si vieš nakresliť funkciu, ktorú maximalizuješ. V tomto prípade je to hyperbolický paraboloid.
http://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid

undertabler · 23. 10. 2011 12:17

Dekuji moc za pomoc. Reseni je ovsem pro stredovy bod [0,0], ze?

kompik · 23. 10. 2011 13:28 — Editoval kompik (23. 10. 2011 13:47)

undertabler napsal(a):
Dekuji moc za pomoc. Reseni je ovsem pro stredovy bod [0,0], ze?

Sory, neprečítal som si poriadne zadanie. Máš pravdu, robil som to v [0,0].

Maximalizovať $f(x,y)=xy$ na kružnici $x^2+(y-1)^2=1$ .

$x^2+(y-1)^2=1$

$y+2\lambda x=0$

$x+2\lambda (y-1)=0$

Resp. pri označení $z=y-1$ sa to dá prepísať ako

$x^2+z^2=1$

$z+2\lambda x=-1$

$x=-2\lambda z$

Z~toho vyjde, že $z(1-4\lambda^2)=-1$ , resp. $x(1-4\lambda^2)=2\lambda$ .

Ak dosadím za $x$ do prvej rovnice, tak mám $x^2(1+4\lambda^2)=1$ .

Z~oboch rovníc môžem vyjadriť $x^2$ :

$x^2=\frac{4\lambda^2}{(1-4\lambda^2)^2}=\frac1{1+4\lambda^2}.$

Po subsitúci $t=2\lambda$ mám
$\frac{t^2}{(1-t^2)^2}=\frac1{1+t^2}$
a po úprave dostanem

$(1+t^2)t^2=(1-t^2)^2$

$t^2+t^4=1-2t^2+t^4$

$3t^2=1$

$t=\pm\frac1{\sqrt3}$

$\lambda=\frac t2 = \pm\frac1{2\sqrt3}$

Dostal som, že $z=\pm\frac x{\sqrt3}$ a keď to dosadím do $x^2+z^2=1$ a riešim, tak nájdem 2 riešenia: Prvé je $x=\frac{\sqrt3}2$ , $z=\pm\frac12$ , druhé má len opačné znamienka.

************

Vyskúšať, že výsledok je správny môžeš na wolframalpha, stačí zadať maximize x*y on x^2+(y-1)^2=1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ma … 29%5E2%3D1

***********************

Nejaké šíkovné riešenie cez známe nerovnosti tentokrát nevidím.