Matematické Fórum

dani · 26. 10. 2011 21:08 — Editoval jelena (29. 10. 2011 21:29)

caute, mam problem s konkretnou funkciou Treba k nej urobit inverznu. Mam vysledok - ma to vyjst , ale ani za svet neviem prist na to, ako tam dostat tie 2 pí v aj v citateli aj v menovateli, vzdy mi to vyjde bez toho :-/

**************************************************************

**** Upraveno: kompletní řešení kolegy Vanok z příspěvku 18 ****

vanok napsal(a):
Ahoj ↑ dani:,
Tu najdes riesenie tvojho cvicenia.
Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!
Skrytý text:
..je uzitocne urobit aj graficke represantacie co sa tyka nejakej restrikcie funkcie ako aj koresponduju inverznu funkciu

PRVA CAST, studium funkcie $f(x)=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ na "klasickom" obore pre $\sin$

Polozme $f(x)=y$ co nam da
$y=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ $(1)$
na "klasicky" obor v situacii tejto pre $\sin$ je $\[-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2 \]$ a z obrazom $\[-1; 1 \]$
Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!
Skrytý text:
POZNAMKY:1)inverzna funkcia tejto restrikcie funkcie sin ma rezervovane meno arcsin, alebo aj Arcsin
2)kazda ina inverzna funkcia z inej restrikcie funkcie sin nema specialne meno, a sa vyjadri pomocov arcsin

co tu znamena ze $\frac{x-1}{x+1} \in \[-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2 \]$
co je equivalentne z $x \in \[\frac{2-\pi}{2+\pi} ;\frac{2-\pi}{2+\pi}\]$

$(1)$ je equivalentna z nasledovnimy rovnostamy
$\frac{y-1}2=\sin\frac{x-1}{x+1}$
$\arcsin\frac{y-1}2=\frac{x-1}{x+1}$
$(x+1)\arcsin\frac{y-1}2=x-1$
$x=\frac{1+\arcsin\frac{y-1}2}{1-\arcsin\frac{y-1}2}$

DRUHA CAST,studium funkcie $f(x)=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ z podmienkov $x \in \[\frac{2-5\pi}{2+5\pi} ;\frac{2-3\pi}{2+3\pi}\]$
Polozme $f(x) =Y$ co nam da
$Y=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ $(2)$

Jednoduche vypocty nam ukazu ze
$x \in \[\frac{2-5\pi}{2+5\pi} ;\frac{2-3\pi}{2+3\pi}\]$
je equivalentna z
$\frac{x-1}{x+1} \in \[-\frac{\pi}2-2\pi; \frac{\pi}2-2\pi \]$

Obrazne povedane toto nam ukazuje ze tu pracujeme z restrikciov funkcie sin na intervale $\[-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2 \]$ posunutym $2\pi$ do lava

Dalsia uzitocna poznamka: Vieme ze graf funkcie a graf jej inverznej funkcie (zobrazene v ortonormalnyom suradnicovov systeme) su symetricke v zladom k priamke y=x

Obor tejto restrikcie funkcie sin je $\[-\frac{\pi}2-2\pi; \frac{\pi}2-2\pi \]$ a obraz pochopitelne $\[-1; 1 \]$

Cize, inverzna funkcia nasej restrikcie sin vyjadrena pomocou arcsin je $-2\pi +\arcsin$

Prakticky dosledok: V nasich vypoctoch z prvej casty treba nahradit
$\arcsin$ z $-2\pi +\arcsin$ a tiez $y$ nahradime z $Y$
A tak prideme ku koncnemu vysledku

$x=\frac{1-2\pi+\arcsin\frac{Y-1}2}{1+2\pi-\arcsin\frac{Y-1}2}$

POSLEDNA POZNAMKA: autor cvicenia urobil chybu znamienka v jeho odpovedi.

Srdecne Vanok

vanok · 26. 10. 2011 21:28 — Editoval vanok (26. 10. 2011 21:29)

Ahoj ↑ dani:,
Na inom obore ako tvojom mame toto [na ktorom?] a a urci aj obraz tejto funkcie
$y=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ mame formalne ze
$\frac{y-1}2=\sin\frac{x-1}{x+1}$ a odtial
$\arcsin\frac{y-1}2=\frac{x-1}{x+1}$

POKRACUJ a a potom to vsetko adaptuj na tvoj obor co mas urceny v cviceni.

Srdecne Vanok

dani · 26. 10. 2011 21:30

↑ vanok: no ved hej, tak to pocitam (na intervale -pi pol, pipol), ale neviem to adaptovat na henten interval ani za svet... vzdy mi to vyjde nejak inak.

dani · 26. 10. 2011 22:59 — Editoval dani (26. 10. 2011 23:17)

pocitam to uz asi siestykrat, ale nevychadza mi to... dostanem sa po ten tvar bez pí, to je lahke, ale neviem, ako to tam mam dostat... neviem, ako mam pouzit ten interval

dani · 26. 10. 2011 23:29

to mi tu fakt nikto nevie pomoct, prosim...

vanok · 26. 10. 2011 23:42 — Editoval vanok (27. 10. 2011 10:41)

↑ dani:
To co som napisal si mohla bez tazkosti urobit?

Cely probleme je tu urcit do akeho intervalu patri $\frac{x-1}{x+1}$ pre funkciu f A prave tato "funkcia" z tym intervalom je pouzita na inverznu funkciu.
Jasne povedane na kazdom intervale kde je nejaka funkcia injektivna sa da vytvorit jej "inverzna funkcia".
PRETOZE POJEM FUNKCIE JE VZOREC A AJ JEJ OBOR.

dani · 27. 10. 2011 06:33

↑ vanok: okey, ale ako strcim ten obor do toho predpisu???

vanok · 27. 10. 2011 10:45

↑ dani:
Ako som ti uz pisal tvoj obor funkcie f mas vyjadrenyna prvom riadku tvo jej zpravy ↑ dani:
Odtial urci jednoduchymi vypoctamyinterval do ktoreho patri $\frac{x-1}{x+1}$ a uvidis ze potom odpoved ako urcit inverznu funkciu bude okamzita
Srdecne Vanok

dani · 27. 10. 2011 17:03

↑ vanok: ja neviem ako vypocitam ten interval

dani · 27. 10. 2011 17:45

↑ dani: proste neviem s cim to mam porovnat alebo co, ten zlomok... uz nad tym zase sedim pol hodinu a nevychadza mi to

dani · 27. 10. 2011 17:49

↑ vanok: mam dat x-1/x+1 mensie rovne -1 a vacsie rovne 1? lebo tak mi vyjde nieco dost zlozite a ked to dosadim do tej rovnice, tak to neviem vypocitat

vanok · 27. 10. 2011 18:36

↑ dani:
O tomto som ti pisal
$\frac{2-5\pi}{2+5\pi} \le x \le \frac{2-3\pi}{2+3\pi}$

A teraz vyjadri x aby si vedela o aku inverznu funkciu ide?

Srdecne Vanok

dani · 27. 10. 2011 22:26

↑ vanok: nemozes mi napisat postup, mne to proste nevychadza... vyslo mi to 2/5pí a 2/3pí, to je zle a aj tak neviem co s tym dalej

dani · 27. 10. 2011 23:13

↑ dani: prosim, napiste mi to niekto, uz sa s tym trapim tyzden, som uplne zufala

vanok · 27. 10. 2011 23:42

↑ dani:
mas stastie ze som zapojil na chvilku pocitac... ale za 5 minut koncim.

Co si napisala sa nezda celkom presne!

Dufam ze budem mat cas zajtra prist kPCa ti napisem jednu z tych nerovnosti co tak dlho hladas

dani · 27. 10. 2011 23:44

↑ vanok: to by si ma zachranil... uz to pocitam naozaj strasne dlho a vobec mi to nevychadza... aj ked to uz vyzera nadejne, vzdy sa mi tam nieco pokasle

vanok · 28. 10. 2011 19:23

↑ dani:
Tak som tu a napisem ti to po castiach tak ze to budem postupne editovat.

vanok · 28. 10. 2011 19:25 — Editoval vanok (28. 10. 2011 22:33)

Ahoj ↑ dani:,
Tu najdes riesenie tvojho cvicenia.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PRVA CAST, studium funkcie $f(x)=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ na "klasickom" obore pre $\sin$

Polozme $f(x)=y$ co nam da
$y=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ $(1)$
na "klasicky" obor v situacii tejto pre $\sin$ je $\[-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2 \]$ a z obrazom $\[-1; 1 \]$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

co tu znamena ze $\frac{x-1}{x+1} \in \[-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2 \]$
co je equivalentne z $x \in \[\frac{2-\pi}{2+\pi} ;\frac{2-\pi}{2+\pi}\]$

$(1)$ je equivalentna z nasledovnimy rovnostamy
$\frac{y-1}2=\sin\frac{x-1}{x+1}$
$\arcsin\frac{y-1}2=\frac{x-1}{x+1}$
$(x+1)\arcsin\frac{y-1}2=x-1$
$x=\frac{1+\arcsin\frac{y-1}2}{1-\arcsin\frac{y-1}2}$

DRUHA CAST,studium funkcie $f(x)=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ z podmienkov $x \in \[\frac{2-5\pi}{2+5\pi} ;\frac{2-3\pi}{2+3\pi}\]$
Polozme $f(x) =Y$ co nam da
$Y=1 +2\sin\frac{x-1}{x+1}$ $(2)$

Jednoduche vypocty nam ukazu ze
$x \in \[\frac{2-5\pi}{2+5\pi} ;\frac{2-3\pi}{2+3\pi}\]$
je equivalentna z
$\frac{x-1}{x+1} \in \[-\frac{\pi}2-2\pi; \frac{\pi}2-2\pi \]$

Obrazne povedane toto nam ukazuje ze tu pracujeme z restrikciov funkcie sin na intervale $\[-\frac{\pi}2; \frac{\pi}2 \]$ posunutym $2\pi$ do lava

Dalsia uzitocna poznamka: Vieme ze graf funkcie a graf jej inverznej funkcie (zobrazene v ortonormalnyom suradnicovov systeme) su symetricke v zladom k priamke y=x

Obor tejto restrikcie funkcie sin je $\[-\frac{\pi}2-2\pi; \frac{\pi}2-2\pi \]$ a obraz pochopitelne $\[-1; 1 \]$

Cize, inverzna funkcia nasej restrikcie sin vyjadrena pomocou arcsin je $-2\pi +\arcsin$

Prakticky dosledok: V nasich vypoctoch z prvej casty treba nahradit
$\arcsin$ z $-2\pi +\arcsin$ a tiez $y$ nahradime z $Y$
A tak prideme ku koncnemu vysledku

$x=\frac{1-2\pi+\arcsin\frac{Y-1}2}{1+2\pi-\arcsin\frac{Y-1}2}$

POSLEDNA POZNAMKA: autor cvicenia urobil chybu znamienka v jeho odpovedi.

Srdecne Vanok

dani · 28. 10. 2011 22:51

↑ vanok: ja to vsetko chaoem, a vsetko to mam, okrem
K tomu sa neviem dostat.

jelena · 28. 10. 2011 23:02

↑ dani:

Zdravím, dosazuješ hodnoty pro x do výrazu $\frac{x-1}{x+1}$ .

Zde je možné jedno malé nedorozumění, které uniklo - pokud řešíš goniometrickou rovnici (což je podstatou úpravy pro vytvoření inverzní) $\sin(x)=a$ , potom výsledek zapisuješ $x=\mathrm{arcsin}(a)+2k\pi$ . Ovšem inverzní funkce se hledá na oboru, kde je původní funkce prostá, proto posunem o -2pi (k=-1) se dostáváš do dalšího intervalu, kde je prostá (oproti "standardní definice arcsin" na oboru -pi/2, +pi/2.

Nechtěla jsem kolegovi Vankovi vstupovat do výkladu, když měl v plánu podrobný popis (za který velmi děkuji a omluva za vstup).

dani · 28. 10. 2011 23:06

↑ vanok: OMG, uz som na to prisla O.O nechapem, ako som to mohla nevidiet... no dakujem za pomoc, ja som to fakt mala cele, len mi nejak nechcelo dojst ako vypocitat tu poslednu podmienku. dakujem mockrat:)

vanok · 28. 10. 2011 23:15 — Editoval vanok (29. 10. 2011 00:08)

↑ dani:,
akoze ide o equivalencie mozes zacat druhym riadkom

A kde sa davaju taketo ulohy?

A je lepsie nedat odpoved ako odpoved z chybou, co moze vela ludi znechutit...

LUDOVE MYSLENIE ZE CO JE NAPISANE JE PRAVDA by sa malo vyvinut :-)

vanok · 28. 10. 2011 23:28

↑ jelena:,

nemusis sa omluvat, forum je najma konstruktivna vymena nazorov

A mala zabavna poznamka: mas aj klesajuce restrikcie funkcie sin ...

ale nerobim tu pripravu na majstrovstva z funkcie arcsin

jelena · 29. 10. 2011 08:49

kolega Vanok napsal(a):
ale nerobim tu pripravu na majstrovstva z funkcie arcsin

na majstrovstvách bych mohla podávat míčky :-)

-----------------------------------------------------------------------
Omlouvám se, přes PM jste navrhl přesun do Zajímavých, měla jsem v plánu přesunout do Vzorových, ale není sekce "Funkce" - až bude slušnější časová doba, poprosím Velitele o zřízení takové sekce. Děkuji.

----------------------
...

vanok · 29. 10. 2011 10:26

↑ jelena:
To je dobra myslienka
<<přesunout do Vzorových, ale není sekce "Funkce" - až bude slušnější časová doba, poprosím Velitele o zřízení takové sekce>>

A este jedna otazka: preco to vykanie?
Na vsetkych forach co poznam si kazdy z kazdym tyka.
Asi to je realizacia utopickej myslienky: vsetci sme rovnaki a sa respektujeme
Alebo sa mylim? a mam vsetkym vykat?

Srdecne Vanok

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2011 21:08 — Editoval jelena (29. 10. 2011 21:29)

inverzna funkcia ku goniometrickej

vanok napsal(a):

#2 26. 10. 2011 21:28 — Editoval vanok (26. 10. 2011 21:29)

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#3 26. 10. 2011 21:30

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#4 26. 10. 2011 22:59 — Editoval dani (26. 10. 2011 23:17)

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#5 26. 10. 2011 23:29

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#6 26. 10. 2011 23:42 — Editoval vanok (27. 10. 2011 10:41)

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#7 27. 10. 2011 06:33

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#8 27. 10. 2011 10:45

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#9 27. 10. 2011 17:03

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#10 27. 10. 2011 17:45

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#11 27. 10. 2011 17:49

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#12 27. 10. 2011 18:36

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#13 27. 10. 2011 22:26

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#14 27. 10. 2011 23:13

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#15 27. 10. 2011 23:42

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#16 27. 10. 2011 23:44

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#17 28. 10. 2011 19:23

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#18 28. 10. 2011 19:25 — Editoval vanok (28. 10. 2011 22:33)

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#19 28. 10. 2011 22:51

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#20 28. 10. 2011 23:02

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#21 28. 10. 2011 23:06

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#22 28. 10. 2011 23:15 — Editoval vanok (29. 10. 2011 00:08)

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#23 28. 10. 2011 23:28

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

#24 29. 10. 2011 08:49

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej

kolega Vanok napsal(a):

#25 29. 10. 2011 10:26

Re: inverzna funkcia ku goniometrickej