Matematické Fórum

aralk09 · 01. 11. 2011 13:28

Zdravím, potřebovala bych pomoct s rozložením reálných polynomů v reálném oboru na součin.
1) f:y=x^{4}+1
2) f:y=x^{4}+x^{2}+1

A jen ujištění :) polynom f:y=x^{4}+4x^{2}+3 jde rozložit jen na (x^{2}+1).(x^{2}+3) že ano?

Díky moc za pomoc ;)

((:-)) · 01. 11. 2011 13:32 — Editoval ((:-)) (01. 11. 2011 13:36)

↑ aralk09:

Ahoj.

Napravo od textarea je veľmi pohodlný TeX editor - možno by si ho mohla použiť, aby sme nemuseli lúštiť Tebou zadávaný text. Môžu vzniknúť zbytočné chyby...

Ani 1, ani 2 sa v reálnych číslach rozložiť nedajú, stačí riešiť úvahou, prípadne riešiť kvadratickú rovnicu (položiť f(x)=0.

Ujištění: áno

aralk09 · 01. 11. 2011 13:42

↑ ((:-)):
Jaj, už to chápu...jsem to sem vkládala špatně. A děkuji za odpověď ;)

vanok · 01. 11. 2011 13:46 — Editoval vanok (01. 11. 2011 14:16)

↑ aralk09:
1) pozoruj ze $x^4 + 1=( x^4 +2x^2 +1)-2x^2a$ pouzi znamu identitu
2) $x^{4}+x^{2}+1= (x^{4}+2x^{2}+1)-x^2$

3)<<<polynom f:y=x^{4}+4x^{2}+3 jde rozložit jen na (x^{2}+1).(x^{2}+3) že ano
Ak ide o rozklad nad R tak ano>>>

Srdecne Vanok

vanok · 01. 11. 2011 13:49

↑ ((:-)):
Skor nemaju realne korene..
a nedaju sa rozlozit na faktory prveho stupna ale ↑ vanok:

srdecne Vanok

aralk09 · 01. 11. 2011 14:00

↑ vanok:
Tak todle mi rozum nebere, ještě aspoň jedna rada, podle které bych to dala dohromady, prosím :)

Honzc · 01. 11. 2011 14:01 — Editoval Honzc (01. 11. 2011 14:09)

↑ vanok:
Zdravím
Nemělo by být toto $x^{4}+x^{2}+1= (x^{4}+x^{2}+1)-x^2$
spíš toto $x^{4}+x^{2}+1= (x^{4}+2x^{2}+1)-x^2$

↑ aralk09:
Pak zkus využít vztahy
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
a
$a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$

Rumburak

Jiné řešení, založené na metodickém postupu:

Každý z uvedených polynomů nabývá v reálném oboru pouze kladných hodnot, takže žádný z nich nemá reálný kořen, tudíž žádný
z jejich kořenových činitelů tvaru x - w nemá reálný absolutní člen.

Avšak i prvé dva polynomy jsou rozložitelné na součin polynomů kvadratických s reálnými koeficienty (to je vlastnost každého
polynomu s reálnými koeficienty, jehož stupeň je sudý a větší než 2) .

Ad 1. Vyřeš binomickou rovnici x^4 = -1 , ta bude mít čtyři kořeny u, v , y, z , značení volme tak, aby u,v byly komplexně sdružené
a y, z taktéž. Součin g(x)=(x-u)(x-v) dá kv. polynom s reál. koeficienty, taktéž součin h(x)=(x-y)(x-z). Odtud x^4 + 1 = g(x)*h(x) .

Ad 2. Substitucí x^2 = t získáme kvadratický polynom, jehož imaginární kompleně sdružené kořeny r, s snadno najdeme . Pak vyřešíme
rovnice x^2 = r , x^2 = s (v komplexním oboru, samozřejmě). Celkem tak dostaneme 4 imaginární kořeny polynomu x^{4}+x^{2}+1 ,
které opět budou komplexně sdružené po dvojicích, obdobně jako v předchozí úloze. Obdobné též bude dokončení úlohy.

Ad 3. Ten rozklad je správný, o čemž se lze snadno přesvědčit zpětným roznásobením.

((:-)) · 01. 11. 2011 14:06 — Editoval ((:-)) (01. 11. 2011 14:11)

↑ aralk09:

Prepáč, zle som pochopila úlohu. Určite treba urobiť to, čo radí vanok alebo aj Honzc...

$x^4 + 1=( x^4 +2x^2 +1)-2x^2=(x^2+1)^2 -(\sqrt 2 x)^2=\cdots$

Reálne korene nebudú, ale rozklad existuje...

vanok · 01. 11. 2011 14:15

↑ Honzc:
dakujem preklep opraveny

aralk09 · 01. 11. 2011 14:29

Všem díky za pomoc, ten nápad s binomickou rcí a kompl. sdruženými kořeny je úžasný, sama bych na to nikdy nepřišla. A ta jednoduchost ve vzorečku (a-b).(a+b) je taky bomba. Ještě jednou dík. ;)

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2011 13:28

Polynomy

#2 01. 11. 2011 13:32 — Editoval ((:-)) (01. 11. 2011 13:36)

Re: Polynomy

#3 01. 11. 2011 13:42

Re: Polynomy

#4 01. 11. 2011 13:46 — Editoval vanok (01. 11. 2011 14:16)

Re: Polynomy

#5 01. 11. 2011 13:49

Re: Polynomy

#6 01. 11. 2011 14:00

Re: Polynomy

#7 01. 11. 2011 14:01 — Editoval Honzc (01. 11. 2011 14:09)

Re: Polynomy

#8 01. 11. 2011 14:05 — Editoval Rumburak (01. 11. 2011 14:25)

Re: Polynomy

#9 01. 11. 2011 14:06 — Editoval ((:-)) (01. 11. 2011 14:11)

Re: Polynomy

#10 01. 11. 2011 14:15

Re: Polynomy

#11 01. 11. 2011 14:29

Re: Polynomy

Zápatí