Matematické Fórum

Ospli · 02. 11. 2011 19:35

Ahoj,
mám problém s nalezením funkce vyjadřující závislost proudu na času při nabíjení kondenzátoru. Není to problém fyzikální, ale matematický ;-)
Pro lepší pochopení vysvětlím, o co při nabíjení kondenzátoru jde.

elektrické napětí ... U
kapacita ... C
el. náboj ... Q
el. proud ... I
el. odpor ... R
čas ... t

ohmův zákon ... I = U/R
U = Q/C
I = dQ/dt

Proud I je podle ohmova zákona
$I(t) = \frac{U-Uc(t)}{R}$
V čase t=0 je kondenzátor vybitý (není v něm uložen žádný náboj) a proto je Uc(0) = 0 a obvodem teče proud I(0) = U/R. Protože proud přenáší náboj, kondenzátor se začne nabíjet, napětí Uc roste a proud I klesá. Nakonec bude napětí Uc stejné jako U a proud I bude nulový. Protože
$Q(t) = \int_{0}^{t} I(x) dx$ ,
dostávám

$I(t) = \frac{U}{R} - \frac{\int_{0}^{t} I(x) dx}{C\cdot R}$
Nyní bych chtěl položit I(t) = 0 a tak zjistit čas t, za jaký se kondenzátor nabije. Poradíte, jak najít předpis funkce I(t)? (stačí mi i název metody nebo odkaz na nějaký materiál)

zdenek1 · 02. 11. 2011 20:46

↑ Ospli:
$U=RI(t)+U_c$
$I(t)=\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}$
$U=R\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}+\frac QC$
$UC-Q=RC\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}$
$\frac{\text dt}{RC}=\frac{\text dQ}{UC-Q}$
$\int\frac{\text dt}{RC}=\int\frac{\text dQ}{UC-Q}$

stačí?

Ospli · 02. 11. 2011 21:12

Nerozumím. To Uc není konstantní, ale mění se v čase.

Zkusím to přeformulovat:
Mám funkci:
$f(x) = a + b\cdot \int_{0}^{x} f(k) = a + b\cdot \int_{0}^{x} [ a + b\cdot \int_{0}^{k} f(l)] =a + b\cdot \int_{0}^{x} \{ a + b\cdot \int_{0}^{k} [a + b\cdot \int_{0}^{l} f(m) ] \} = ...$
Jak se zbavím toho integrálu?

zdenek1 · 02. 11. 2011 21:45

↑ Ospli:
s matikou ti nepomůžu, ale problém s kondenzátorem máš vyřešený v příspěvku #2.
Samozřejmě, že $U_C$ není konstantní, je $U_C=\frac{Q(t)}C$ , ale
řešním poslední rovnice (musíš spočítat ty dva integrály) dostaneš funkci $Q(t)$ , a její derivací pak hledané $I(t)$

lukaszh · 04. 11. 2011 14:58

↑ Ospli:

Já ti s matikou pomůžu ;-) Integrálu sa zbavíš ľahko derivovaním Samozrejme za všetkých predpokladov, že tak môžeme urobiť.

$I(x)=a+b\int_{0}^{x}I(s)\,ds$

Po zderivovaní integrálu ako funkcie hornej hranice

$I'(x)=bI(x).$