Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Ahoj, snažím se ukázat, že $e^{ikm}e_{jkm}=2\delta^i_j$ , kde sčítáme přes k,m od jedné do tří. Přepsal jsem to jako $e^{ikm}e_{jkm}=\frac14 \sum_{k=1}^{3}\sum_{m=1}^3 (m-k)^2(k-i)(m-i)(k-j)(m-j)$
Tady je vidět, že musí platit $i=j$ , jinak je vždy některá ze závorek rovna nule. Proto:
$\ldots=\frac{\delta_i^j}{4} \sum_{k=1}^{3}\sum_{m=1}^3 (m-k)^2(m-i)^2(k-i)^2$ . Teď ale nevím jak dál...

Pavel Brožek · 02. 11. 2011 23:19

Dá se to snadno ukázat pomocí známého vztahu

$\varepsilon^{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta^j_l\delta^k_m-\delta^j_m\delta^k_l$

(stačí kontrahovat dva indexy).

Bohužel mě ale nenapadá, jak jednoduše dokázat „známý vztah“.

FliegenderZirkus

↑ Pavel Brožek:

Tenhle vztah jsem chtěl poslat jako druhý dotaz...

EDIT: Srozumitelný důkaz „známého vztahu“ rozepsáním všech možností jsem našel tady: Odkaz

Ten můj postup funguje po rozepsání všech členů, jen je to trochu neohrabané. Kontrakcí $\varepsilon^{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta^j_l\delta^k_m-\delta^j_m\delta^k_l$ se myslí, že položím např. $l=j$ ? $e^{ijk}e_{ijm}=3\delta^k_m-\delta^1_m \delta^k_1-\delta^2_m \delta^k_2-\delta^3_m \delta^k_3=3\delta^k_m-\delta^k_m=2\delta^k_m$

Pavel Brožek · 03. 11. 2011 23:20

↑ FliegenderZirkus:

Ten odkazovaný důkaz se mi moc nelíbí, jde vlastně o rozepsání možností. Mám takovou mlhavou vzpomínku, že jsem někdy viděl nějaký hezký důkaz. Možná se později ještě po nějakém podívám.

Kontrakcí (nebo se také říká úžení) dvou indexů i a j se myslí, že jeden index nahradíš tím druhým a vysčítáš přes něj. Provedl jsi to tedy správně.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2011 20:43 — Editoval FliegenderZirkus (03. 11. 2011 19:41)

Levi-Civitův symbol

#2 02. 11. 2011 23:19

Re: Levi-Civitův symbol

#3 03. 11. 2011 11:34 — Editoval FliegenderZirkus (03. 11. 2011 12:05)

Re: Levi-Civitův symbol

#4 03. 11. 2011 23:20

Re: Levi-Civitův symbol

Zápatí