Matematické Fórum

Kamik666

Dobrý deň potreboval by som pomôcť vypočítať tento príklad

Vypočítajte energiu elektrického poľa s polomerom $R=20 cm=0.2m$ nabite nábojom $Q=4\cdot 10^{-4} C$ za predpokladu že tento náboj je rovnomerne rozložený v celom objeme gule a že gula je vo vákuum
a) energiu počítajte mimo objemu gule
b) pole sa nachádza v guli kde je vákuum aj mimo objemu gule

Ďakujem

a)

hustota energie $w= \frac{1}{2}\vec{E}\cdot \vec{D}$
el.indukcia= $\vec{D} =\varepsilon_{0}\vec{E}$
z toho vyplýva $w= \frac{1}{2}\vec{E}\cdot\varepsilon_{0}\vec{E}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$
$1m^{3}= \frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}$

v dv $m^{3} = \frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\cdot dv\Rightarrow dw=\int_{}^{} \frac{1}{2}\varepsilon_{0}E^{2}\cdot dv \Rightarrow w= \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{vc}^{}E^{2}dv$

teraz potrebujem dosadit za E a dv pouzijem Gaussov zákon $\oint_{s}^{} \vec{E}\cdot \vec{ds}=\frac{Q}{\varepsilon _{0}}$
povrch gule $dv=4\pi r^{2}$
$\oint_{s}^{} \vec{E}\cdot \vec{ds}=\frac{Q}{\varepsilon _{0}}$
$E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon _{0}}$
$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon _{0} r^{2}}$
dosadim do vzorca ktory som si odvodil na zaciatku $w= \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{vc}^{}E^{2}dv$
$w= \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{vc}^{}E^{2}dv$
$w= \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{vc}({\frac{Q}{4\pi\varepsilon _{0} r^{2}}})^{2}dv\Rightarrow \frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int_{vc}{\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon _{0}^{2} r^{4}}}dv \Rightarrow\frac{Q^{2}}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}}\int_{vc}^{}\frac{1}{r^{4}}dv$
dosadim dv
$\frac{Q^{2}}{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}}\int_{vc}^{}\frac{1}{r^{4}}4\pi r^{2}dr$
$\frac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}}\int_{R}^{\infty }\frac{1}{r^{2}}dr$
$\frac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}}[-\frac{1}{r}]_{R}^{\infty }$