Matematické Fórum

easy · 06. 11. 2011 22:45 — Editoval easy (06. 11. 2011 23:05)

Zdravím,

snažím se dokázat, že pokud násobení matic AB dává smysl, pak $hodnost(AB) \le hodnost(B)$ .

Dostal jsem do fáze, kde mám $A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\\vdots \\a_n \end{bmatrix}$ kde $a_n$ jsou řádkové vektory.
$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_k \end{bmatrix}$ kde $b_k$ jsou sloupcové vektory.

potom $AB = b_1 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\\vdots \\a_n \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\\vdots \\a_n \end{bmatrix} + \ldots + b_k \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\\vdots \\a_n \end{bmatrix}$

Jenže odsud nevím, jak vyvodit samotný vztah pro hodnosti. Mohl by mě nekdo popostrčit?

Děkuju

FailED · 06. 11. 2011 22:57

Spíš se zkus podívat na kernely těch matic.

easy · 06. 11. 2011 23:25

↑ FailED:

Nejsem si jistej jak využít null space matice k tomuhle důkazu. Můžeš poradit?

Děkuji

FailED · 06. 11. 2011 23:49 — Editoval FailED (06. 11. 2011 23:56)

↑ easy:

Existuje věta která říká, že počet sloupců se rovná rank matice + rank kernelu, stačí tedy ukázat, že $\text{ker}(AB)\supseteq \text{ker}B$ , to plyne hned z definice.

Jak máte definovanou hodnost matice? Říká ti něco sloupcový prostor (column space)? Lineární zobrazení (homomorphism)?

EDIT: Vlastně stačí ukázat, že když si vezmeme nějakou lineárně závislou množinu sloupců B, bude lineárně závislá i v AB. Pro takové sloupce existuje netriviální kombinace, která dá 0. Tedy Ba=0. Potom ale i ABa=A(Ba)=0. Z toho už plyne, že AB má nižší rank (míň lineárně nezávislých sloupců).

vanok · 07. 11. 2011 00:02

Ahoj ↑ easy:,

"matica" $A$ je typu (n;1)

"matica" $B$ je typu (1;n)

tak matica $AB$ je typu (n;n)

a toto co si ty napisal je po sucte matica typu (n;1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cize je tazko zacat dokazovat nieco na spatnej matici $AB$ ako je tvoja.

Inac dokaz o ktorom hovoris je mozne robit len na maticovych uvahach.

Prva etapa k uspechu je napisat spravnu maticu $AB$

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities.
Do not judge the other one.

easy · 07. 11. 2011 00:02

Hodnost matice máme definován jako $rank(A) + nullity(A) = n$ kde A je matice s m řádky a n sloupci.

Sloupcový prostor je span sloupcových vektorů matice. Ale homomorphism neznam.

Z editu už chápu, děkuji za pomoc.

vanok · 07. 11. 2011 00:07

↑ easy:
Zacni maticou AB

Srdecne Vanok

The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2011 22:45 — Editoval easy (06. 11. 2011 23:05)

Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

#2 06. 11. 2011 22:57

Re: Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

#3 06. 11. 2011 23:25

Re: Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

#4 06. 11. 2011 23:49 — Editoval FailED (06. 11. 2011 23:56)

Re: Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

#5 07. 11. 2011 00:02

Re: Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

#6 07. 11. 2011 00:02

Re: Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

#7 07. 11. 2011 00:07

Re: Matice - hodnost(AB) <= hodnost(B)

Zápatí