Matematické Fórum

myrek · 12. 11. 2011 23:59

dobry den
chci se jen vas zeptat estli je nekde dukaz ze $Q(\sqrt2)$ je teleso

vanok · 13. 11. 2011 00:34

Ahoj ↑ myrek:,
Mozes nam napisat ako je definovane $Q(\sqrt2)$ ?

myrek · 13. 11. 2011 13:32

↑ vanok:,
je to jako racionalni cisla s operacemi + a * akorat ze
$Q(\sqrt2)= a + b \sqrt2$
kde a,b jsou racionalni

vanok · 13. 11. 2011 13:37

Ahoj ↑ myrek:,

presnejsie sa to pise takto:
$Q(\sqrt2)=\{ a + b \sqrt2 | a \in Q ; b \in Q \}$

Cize ti ostava len overit ze axiomy telesa su overene.
Kde mas z tym problem?
Napis co si uz urobil

vanok · 13. 11. 2011 22:01

↑ myrek:,
Si na dobrej ceste, ale treba vsetko overit.
Staci ak pred kazdym overenym napises co overujes

myrek · 13. 11. 2011 22:30

↑ vanok:
no tak ted sem napsal ze se overuje komutativita neboli to jestli se $(a+b\sqrt2)+(c+d\sqrt2)=(c+d\sqrt2)+(a+b\sqrt2)$

vanok · 13. 11. 2011 22:43

↑ myrek:
Ano pre +,
Treba ozaj overit vsetki axiomy, lebo ide o novu strukturu.

Pokracuj, nie je to tazke ak rozumies o co ide

myrek · 13. 11. 2011 22:57

↑ vanok:
jj pro scitani
asociativita scitani bych rek ze by byla obdobna
existence neutralniho prvku vuci scitani pak a=0,b=0

myrek · 13. 11. 2011 23:01 — Editoval myrek (13. 11. 2011 23:01)

opacny prvek $-a-b\sqrt2$

vanok · 13. 11. 2011 23:02 — Editoval vanok (13. 11. 2011 23:03)

↑ myrek:,
ano, ale ju napis vo forme $a+b\sqrt2$
$0= ...$ , aby sa videlo ze ide o prvok z $Q(\sqrt2)$

myrek · 13. 11. 2011 23:08

↑ vanok:
$0= +(-1)a +(-1)b\sqrt2$

vanok · 13. 11. 2011 23:10 — Editoval vanok (13. 11. 2011 23:11)

↑ myrek:,
nie!
$0= 0 + 0\sqrt2$
A z tohto sa vidi ze je tej formy ako som pred chvlkou pisal

A teraz treba ukazat axiomy pre .
Tak pokracuj, a zajtra to overim.

myrek · 13. 11. 2011 23:13

↑ vanok:
jo prepac ja psal opacny prvek v tom zapisu

vanok · 13. 11. 2011 23:15

↑ myrek:
ok zajtra to skontrolujem pre .
A budes mat radost ze si to zvladol

myrek · 14. 11. 2011 00:02

s trochou vice rozepisovanim by se udelala i asociativita nasobeni, distributivita a netrivialita (teleso ma alespon dva prvky tedy $0\neq1$ )
no problem bych rekl ze mam s inverznim prvkem zadefinovat ho tak aby bylo patrne ze patri do tohota telesa

vanok · 14. 11. 2011 00:09 — Editoval vanok (14. 11. 2011 00:15)

↑ myrek:
Napriklad : napis $(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=1+0\sqrt2$
A od tial najdes relaciu, co ti ukaze aky je inverzny prvok od $a+b\sqrt2$ (ak nie je nulovy!)

Ina cesta je pouzit vlasnosti v $R$ zlomku $\frac 1 {a+b\sqrt2}$ , kde sa zbavis iracionality ( vdaka $a^2 -b^2$ )
a overis ze vysledok z $R$ je ak v $Q(\sqrt2)$ a tak je inverzny k $a+b\sqrt2$ .

Zvysok je dobre vyrieseny.

vanok · 14. 11. 2011 11:56 — Editoval vanok (14. 11. 2011 11:58)

↑ myrek:
Ahoj,
vybral si tu druhu cestu, mas pravdu je to rychlejsie.
po prvom riadku ( kde vvyhodis to $x+y\sqrt2$ )napis skor: vidime ze $x:=\frac{a}{a^2-2b^2}, y:=\frac{-b}{a^2-2b^2}$ su rationalne pretoze $a, b, -b, a^2, b^2, 2b^2, -2b^2, a^2+(-2b^2), \frac{a}{a^2-2b^2}, \frac{-b}{a^2-2b^2}\in\mathbb{Q}$ a tak
$\frac{1}{a+b\sqrt2}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt2 \in Q(\sqrt 2)$

Zda sa mi ze sme to dokoncili, tak pekne matematicke uspechy....

myrek · 14. 11. 2011 12:26

↑ vanok:
tak diky

Rumburak

↑ myrek:, ↑ vanok:

Ahoj,

pouze technická poznámka:

Zkoumaná množina $Q(\sqrt2)$ je částí tělesa $\mathbb{R}$ , kde zákony asociativní, komutativní a distributivní splněny jsou.
Proto u $Q(\sqrt2)$ , domnívám se, už splnění těchto zákonů není nutno ověřovat. Je nutné a stačí ověřit, že $Q(\sqrt2)$ obsahuje 0, 1
(ověřouvat jejich neutralitu ovšem rovněž netřeba) a že je uzavřená na operace součtu , součinu, rozdílu a podílu (pokud dělitel je nenulový).

Pokud bychom v nějaké takovéto úloze neměli k disposici fakt, že jde již o podmnožinu nějakého tělesaa a použité operace + , . jsou stansartními
operacemi v tomto tělese, pak bychom samozřejmě museli ověřovat platnost všech axiomů.

vanok · 14. 11. 2011 14:19 — Editoval vanok (14. 11. 2011 14:27)

↑ Rumburak:,

Ano ja viem, ale vsetko sa dalo dokazat bez prechadzky do $R$ : no princip novej struktury

A ta nepovinna obkluka bola vybrana kolegom az na poslednej etape.

A jedna otazka: Ako sa tradicne uvedie struktura telesa $R$ na cz alebo sk VS?

myrek · 14. 11. 2011 15:05

no tak ja to u toho inverzniho prvku udelal aby bylo jasne ze patri do Q ty zlomky a ze je to tedy v tomto telesu

vanok · 14. 11. 2011 15:08

↑ myrek:

Ano, to bolo potrebne vdaka tebou vybranej metode.

Inac nas kolega pripomina, ze ak poznas teleso $R$ , tak mozes ekonomizovat cast prace z dokazu co si tak dobre urobil.

kaja.marik · 14. 11. 2011 16:40

Rumburak napsal(a):
(ověřouvat jejich neutralitu ovšem rovněž netřeba) a že je uzavřená na operace součtu , součinu, rozdílu a podílu (pokud dělitel je nenulový).

Dokonce si myslim ze jsem videl a dokazoval vetu, ze staci o malinko (ale opravdu o epsilon) mene: uzavrenost vzhledem k souctu, soucinu a tvoreni opacnych prvku a inverznich prvku. Myslim, ze autor dotazu musi mit v prednaskach vety ktere udavaji nutnou a postacujici podminku toho, aby podmnozina telesa byla podtelesem.

Rumburak · 15. 11. 2011 09:27

↑ kaja.marik:
Ano, je to tak .

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2011 23:59

teleso

#2 13. 11. 2011 00:34

Re: teleso

#3 13. 11. 2011 13:32

Re: teleso

#4 13. 11. 2011 13:37

Re: teleso

#5 13. 11. 2011 22:01

Re: teleso

#6 13. 11. 2011 22:30

Re: teleso

#7 13. 11. 2011 22:43

Re: teleso

#8 13. 11. 2011 22:57

Re: teleso

#9 13. 11. 2011 23:01 — Editoval myrek (13. 11. 2011 23:01)

Re: teleso

#10 13. 11. 2011 23:02 — Editoval vanok (13. 11. 2011 23:03)

Re: teleso

#11 13. 11. 2011 23:08

Re: teleso

#12 13. 11. 2011 23:10 — Editoval vanok (13. 11. 2011 23:11)

Re: teleso

#13 13. 11. 2011 23:13

Re: teleso

#14 13. 11. 2011 23:15

Re: teleso

#15 13. 11. 2011 23:51 — Editoval myrek (13. 11. 2011 23:51) Příspěvek uživatele myrek byl skryt uživatelem myrek.

#16 14. 11. 2011 00:02

Re: teleso

#17 14. 11. 2011 00:09 — Editoval vanok (14. 11. 2011 00:15)

Re: teleso

#18 14. 11. 2011 11:56 — Editoval vanok (14. 11. 2011 11:58)

Re: teleso

#19 14. 11. 2011 12:26

Re: teleso

#20 14. 11. 2011 14:04 — Editoval Rumburak (14. 11. 2011 14:06)

Re: teleso

#21 14. 11. 2011 14:19 — Editoval vanok (14. 11. 2011 14:27)

Re: teleso

#22 14. 11. 2011 15:05

Re: teleso

#23 14. 11. 2011 15:08

Re: teleso

#24 14. 11. 2011 16:40

Re: teleso

Rumburak napsal(a):

#25 15. 11. 2011 09:27

Re: teleso

Zápatí