Matematické Fórum

matoxy · 14. 07. 2008 12:36 — Editoval matoxy (14. 07. 2008 13:37)

Zdravím, ako treba rieši? takýto typ limity: $\lim_{x \to 0 }\frac{ tg k x}{x}$ . Prišiel som len k úprave: $\lim_{x \to 0 }\frac{\sin kx}{\cos kx x}$ , ale ďalej si s tým k-čkom neviem rady.

Výsledok má by? k.

Editácia: Ešte ma napadlo, že sa to dá rozšíri? $\frac k k$ , ale potom tam stejne ostane: k cos kx

A ešte: $\lim_{x \to \frac \pi 4 }\frac{cos x - sin x}{cos 2x}$ toto vôbec neviem a má výs? $\frac{\sqrt2}{2}$ .

Tá goniometria mi ide akosi menej než som si myslel.

jelena · 14. 07. 2008 13:12 — Editoval jelena (14. 07. 2008 19:47)

↑ matoxy:

Zdravim :-)

je cervenec, odpocivat se ma :-)

K je konstanta predpokladam - nevidim zadny duvod ji "poslat za" sin nebo za cos.

$\lim_{x \to 0 }\frac{k {\sin x}}{x \cos x}$
v teto uprave mas schovan "замечательный предел - přeloženo "pozoruhodnou limitu" - nevim, zda je prihodny slovensky nazev :-) $\lim_{x \to 0 }\frac{sin x}{x}=1$ ,

cos0=1. proto ve vysledku je k

OK ?

jelena · 14. 07. 2008 13:20 — Editoval jelena (14. 07. 2008 19:48)

$\lim{x \to \frac \pi 4 }\frac{cos x - sin x}{cos 2x}$ pouzijes vzorec pro cos dvojnasobneho uhlu

$\lim{x \to \frac \pi 4 }\frac{cos x - sin x}{cos^2x-sin^2x}$ - pouzijes vzorec (a^2 -b^2)

$\lim{x \to \frac \pi 4 }\frac{cos x - sin x}{(cos x-sin x)(cos x+sin x)}$ pokratis, dosadis pi/4, a usmernis vysledek.

OK?

jelena · 14. 07. 2008 13:48 — Editoval jelena (14. 07. 2008 19:51)

$\lim_{x \to 0 }\frac{\mathrm{ tg (k x)}}{x}$ bud jsem to spatne videla nebo byl edit :-)

Pak to, co navrhujes - rozsirit k

$\lim_{x \to 0 }\frac{k sin (kx)}{(kx)cos (kx)}$

vsechno plati stejne, jak v predchozim prispevku: cos(k*0) = cos0 = 1

$\lim_{x \to 0 }\frac{sin (kx)}{kx}=1$

OK?

matoxy · 14. 07. 2008 13:49

Tiež som počul, od niekoho, že sa má v júli oddychova?, ale bol som minulý týždeň na takom astronomickom sústredení, tak som si oddýchol... a nabral novú inšpiráciu, a povedal si, že sa pustím do matematickej analýzy, hádam tentokrát úspešnejšie. Začal som limitami.

Ale ten prvý príklad mi aj tak vychádza akosi inak: $\lim_{x \to 0 }\frac{\sin kx}{\cos kx x} = \lim_{x \to 0 }\frac{k\sin x}{k \cos x x}$ tu vyškrtám k-áčka aj sin x / x a dostanem $\frac{1}{cos x}$ a z toho k mi akosi nejako nevvychádza??

Ten druhý, to je teda jasné, len si ešte zopakujem tie vzorce pre goniometrické funkcie.

matoxy · 14. 07. 2008 13:51

bol edit, len som napísal až do predošlého príspevku, že je edit.

A neplatí teda $k sin x= sin kx$ ?

jelena · 14. 07. 2008 14:11

↑ matoxy:

? muzes na jeden obrazek nakreslit grafy:
y=sin(2x), y=2sinx a pak podiskutujeme :-)

Tu upravu - "vytahnout k" pred sin opravdu nemuzes pouzit. Nejdriv pouzivas rozpis tg(kx) =(sin(kx))/(cos(kx)) a pak pouze donasobis citatel a jmenovatel k. OK?

matoxy · 14. 07. 2008 22:13 — Editoval matoxy (14. 07. 2008 22:15)

Noo... keď si uvedomím ako by vyzerali tie grafy tak mi došlo, že to tak nebude a úprava teda bude: $\lim_{x \to 0 }\frac{ tg k x}{x}=\lim_{x \to 0 }\frac{\frac{ sin kx}{cos kx}}{x}*\frac kk=\lim_{x \to 0 }\frac{k sin kx}{(cos kx) kx}=\lim_{x \to 0 } \frac{k}{cos x}=k$ . :)

Došiel som k tomu tvrdeniu so sínusmi v dôsledku nedorozumenia s tým mojím chybným zadaním a som nad tým či to tak môže by? poriadne neporozmýšľal.

+ Ďakujem za pomoc, ale myslím, že sa ešte v najbližšej budúcnosti ohľadom niečoho podobného ozvem O:-).

jelena · 14. 07. 2008 22:28

↑ matoxy:

V juli a v auguste :-) no ked si myslis :-)

Jake bylo soustredeni? a na co bylo zamerene - ostatne uvidime castecne zetmeni Slnka nebo nas to mine?

Zdravim :-)

matoxy · 15. 07. 2008 10:45

Sústredenie nebolo myslím zamerané na nič konkrétne. Ale prednášky sme tam mali dos? o astrofotografií, o slnečných hodinách, globálnom otepľovaní (vraj nie je až tak isté, že ho spôsobujú ľudia :))... O tom zatmení nám tuším ktosi vravel, že z Čiech bude pozorovateľné čiastočne, tuším v Hvezdárni vo Valašskom Medziřičí nám to hovorili, tam sme boli na exkurzií a ešte v múzeu TATRA - pekné autíčka len často z nich treba utiera? prach :).

matoxy · 15. 07. 2008 19:35 — Editoval matoxy (15. 07. 2008 20:26)

Nakoniec to ani tak dlho netrvalo, čo som sa tu ukázal, s nádejov, že mi niekto pomôže:) Mám takýto príklad : $\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt[3]{3}-1}{\sqrt x -x}$ .
Príklady čerpám z tejto stránky: http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/ , ktorú mi pred časom odporučila jelena. Je to jeden z príkladov ktorý tam má tzv. krokovú kontrolu, avšak je prístupná len po registrácií a to neveim ako sa robí. Sú tam však 4 možnosti čo najskôr spravi?: a.) rozšíri? zlomok $\sqrt[3]{3}-1$
b.) rozšíri? zlomok $\sqrt x - x$
c.) umocníme zlomok na druhou
d.) zavedeme pomocnou neznámou

Skúšal som rozšíri? $\sqrt x -1$ , avšak nič rozumné mi nevyšlo, lebo v menovateli bolo stejne x -x, rozšíri? $\sqrt[3]{3}-1$ mi nedáva zmysel, lebo tretioa odmocnina na druhú je nič užitočné. Umocni? na druhú, v tom tiež nevidím zmysel. Zostáva teda len zavedeme pomocnou neznámou, čo si myslím, je inými slovami substitúcia, avšak tá ma nejak rozumne nenapadá.

Vopred ďakujem za pomoc.

EDITACE: už som prišiel na to ako sa tam registrova?, aj na výsledok som nejak prišiel, je to $-\frac{2}{3}$ :)

jelena · 15. 07. 2008 20:17

↑ matoxy:

Zdravim :-)

Ted nejsem si jista, zda resis zadani 7 "z kroku" nebo 37 (pod kapitolou), ale princip je stejny :-)

Muj postup je pro 37.

$\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt x -1}$

Uprava - citatel rosirit na vyraz (a^3 - b^3), jmenovatel na vyraz (a^2 - b^2)

$\frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt x +1)}{(\sqrt x -1)(\sqrt x +1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}=\frac{(x-1)(\sqrt x +1)}{(x -1)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}=\frac{(\sqrt x +1)}{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1)}$

ted se vrat do limit a dosazuj 1.

Stejny postup by mel byt i u 7.

OK?

matoxy · 15. 07. 2008 20:36 — Editoval matoxy (16. 07. 2008 00:01)

Malo to by? pre to sedem som to zas zle napísal, posnažím sa pre budúcnos? by? dôslednejší, no teraz idem hra? s tunajšou pospolitos?ou Investor:). + v tej sedmičke som ešte zaviedol substitúciu a vyriešil to takto: $\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt x -x}$ tu zavedieme $t^6=x$ a ďalej upravujeme na: $\lim_{x \to 1}\frac{t^2-1}{t^3-t^6}=\lim_{x \to 1}\frac{-(1-t)(t+1)}{t^3(1-t)(1+t+t^2)}=\lim_{x \to 1}\frac{-t-1}{t^3(1+t+t^3)}$ , čo sa po dosadení rovná $-\frac{2}{3}$

jelena · 15. 07. 2008 22:58 — Editoval jelena (15. 07. 2008 23:24)

↑ matoxy:

I to je mozne :-)

$\sqrt[3]{3}$ sice v zadani neni, zrejme preklep.

-------------
Astronomicke zajimavosti :-)

1. v Opave mame Slunecni soustavu:-)

2. cestovky v Rusku ted poradaji zajezdy smerem na Sibir za ucelem pozorovani zatmeni - vybaveni a pozorovaci plosina je soucasti sluzeb

matoxy · 16. 07. 2008 00:25

Správne preklep, ďakujem za upozornenie, no naš?astie sme sa pochopili.

No taký zájazd do Ruska musí teda riadne stá? na také pozorovanie, veď len tá cesta tam a dotrepa? tam pozorovaciu techniku. Ale niekto na zraze vravel o tom, že tam pôjde ak ma pamä? neklame.

K tej Slnečnej sústave, je to zaujímavá vec, len sa mi nepozdáva, že tam píšu, že je to v nejakej mierke. Ak je Zem niekoľko metrov od Slnka a Pluto 9,5 km, to j epribližne 100x-1000x viac pričom ZEM- ŚLNKO = 1AU; PLUTO-SLNKO = cca 40 AU. Avšak priemery tých planét, ktoré sú tam uvedené približne sedia aj s mierkou. Ale keď najbližšie prídem do Opavy tak tie planéty pochodím, ak by som náhodou mal času to, mohla by to by? sranda:).

(Ste mi pripomenula stránku IAN.cz. Sa mi pred časom nedala prida? do hornej lišty, kde mám ostatné často navštevonané, tak som na ňu nejak zabudol.)

matoxy · 17. 07. 2008 18:26

Mohly by ste mi pomôc? ešte s týmito príkladmi?
a.) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin x}{(\frac{\pi}{2}-s)^2}$ , vôbec neviem čo s tým, je to príklad č. 103

b.) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+9}-3}$ , rozšíril som zlomok výrazom $\sqrt{x+9}+3$ , ale nič rozumné mi z toho nevyšlo. Po úprave som dostal $\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+9}+3)}{x}$ . ďalej vôbec neviem čo

jelena · 18. 07. 2008 14:49

↑ matoxy:

Zdravim :-)

K prikladu a) - tam by se velmi dobre hodilo l´Hospitalovo pravidlo a bylo by to rychle. Ale pokud je pozadovana uprava, tak opet se snazim najit pozoruhodnou limitu. nejdriv rozsirim vyrazem (1+sin x).

$\frac{(1-sin x)(1+sin x)}{(\frac{\pi}{2}-x)^2(1+sin x)}$

dal budu pouzivat vzorec sin^2 x + cos^2 x=1 a souctove goniometricke vzorce, a sice cos(x) = sin (pi/2 - x)

Pokud se to nepodari, tak se ozvi. OK?

jelena · 18. 07. 2008 14:54

↑ matoxy:

k b) pokud jak v citateli, tak i jmenovateli je "kousek vzorce" (a-b)(a+b), tak musime rozsirovat jak citatel, tak i jmenovatel>

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+9}+3)}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)(\sqrt{x+1}+1)}$

OK?

matoxy · 19. 07. 2008 15:38 — Editoval matoxy (20. 07. 2008 14:04)

Tiež zdravým:)

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-sin x}{(\frac{\pi}{2}-x)^2}*\frac{1+sinx}{1+sinx}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1-sin^2}{(\frac\pi2-x)^2(1+sinx)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{(\frac\pi2-x)^2(1+sinx)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(sin {\frac{\pi}{2}}-x)^2}{(\frac{\pi}{2}-x)^2(1+sinx)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+sinx}=\frac12$
To 2pi v tretom výraze od zadu má by? pi/2, len tex je tvrdohlavý a neviem prečo mi to tam nechce da? tak ako má by?. No výsledok 1/2 uvádzajú aj na stránke. Som si hlavne neuvedomil ten vz?ah, že cos x = sin (pi/2-x). Čo sa týka toho L´Hospitalovho pravidla, tak k tomu som ešte neprišiel.

b.) $\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+9}+3)}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)(\sqrt{x+1}+1)}=\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+9}+3)}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+1}+1}=3$
Nejako sa mi zdalo nie dobre rozšírova? dvoma zlomkami.
Ďakujem

Ešte by som rád vedie? ako upravi?, resp. rozloži? takýto výraz: $3x^3-2x-1$ . Je to z príkladu: $\lim_{x\to1}\frac{3(x-1)}{3x^3-2x-1}$ . Skúšal som to rozloži? na nejaký výraz ktorý by obsahoval buď 3x-3, alebo x-1, aby sa to dalo vyškrta?, obidvoje však neúspešne. Nikdy sa mi nepodarilo dosta? tam x^3 bez toho aby som mal x^2.

jelena · 20. 07. 2008 00:15

↑ matoxy:

vse OK, jen jsem trochu upravila zapis, aby bylo pi/2. Take pomoci \\ jsem rozdelila radky. Ale to jsou kosmeticke upravy :-)

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos^2x}{(\frac\pi2-x)^2(1+sinx)}=\nl=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{(sin {\frac{\pi}{2}}-x)^2}{(\frac{\pi}{2}-x)^2(1+sinx)}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+sinx}=\frac12$

Rozklad polynomu ${3x^3-2x-1}$ na soucin bude trochu slozitejsi, ale daji se tam pouzit ruzne vychytavky, treba

a) ${3x^3-2x-1}$ rozepisi 3x^3 jako 2x^3 + x^3 a dal budu vytykat po dvojicich:

${3x^3-2x-1}=2x^3 + x^3-2x-1=2x(x^2-1)+(x^3-1)$ dal, myslim, jasno, ze?

nebo pokud uz vidim, ze vyhledove bude potreba kratit s (x-1), tak se pokusm podelit mnohoclen mnohoclenem $({3x^3-2x-1):(x-1)$

no a odsud je jiz blizko sem- koreny polynomu a k debate o resitelnosti kubickych rovnic, pripadne k rozkladu polynomu pomoci Hornerova schematu - podrobne tady: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=496

Metoda bude zalozena na tom, ze jeden koren rovnice $({3x^3-2x-1)=0$ se pokusime uhodnout - byva obvykle pekny (1. -1. 2. -2 ) - v nasem pripade 1. Ted opet vyuzijeme deleni mnohoclenu mnohoclenem.

OK?
------------------------------------------------

Slunecni soustava v Opave je trochu zkreslena - vychazeji z toho, ze na namesti ve fontane lezela Zemekoule - tak z ni udelali Slunko. Planety jsou v turisticky zajimavych mistech, ale vzdalenost muze byt zkreslena. Ale pry ne moc :-)

Myslim, ze nejhur dopadl prave Pluto (no, ten celkove nedopadl nic moc, ale mu to nejak nevadi, doufam :-)

Opava je vubec astronomicke mesto - na mistni Slezske univerzite se da studovat obor Astrofyzika :-)

V Opave budes vzdy srdecne vitan, urcite dej vedet, az budes mit v planu se vypravit :-)

matoxy · 20. 07. 2008 14:27

To pi/2 som už opravil, nevedel som, že argument sin musí by? v kučeravých zátvorkch keď je zložitejší.

Osviežil som si teda to delenie polynómov a vydelil to: $(3x^3-2x-1):(x-1)=3x^2+3x+1 \nl -(3x^3 -3x^2) \nl3x^2-2x-1 \nl -(3x^2-3x) \nl x-1$

Aplikáciou na ten príklad dostaneme: $\lim_{x\to1}\frac{3(x-1)}{3x^3-2x-1}=\lim_{x\to1}\frac{3(x-1)}{(3x^2+3x+1)(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{3}{(3x^2+3x+1)}=\frac37$ Čo je výsledok, ktorý ponúkajú aj na stránke:)

matoxy · 20. 07. 2008 21:36 — Editoval matoxy (21. 07. 2008 16:11)

Ešte by som potreboval pomôc? s dvomi typmi príkladov:
Pr.105 $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-cos^2x}{x}$ a
Pr.126. $\lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}$ .
Potom sa už hádam odhodlám na nevlasné limity a derivácie.

EDITACE: K tomu príkladu 105. som našiel v ďalšej lekcii $\lim_{x\to a}\frac{e^x-1}{x}=1$ a ak platí tento vz?ah, tak ho uplatníme na náš úríklad a dostávame: $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-cos^2x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}+\frac{sin^2x}{x}=1+\lim_{x\to0}sin x=1+0=1$ Čo je výsledok, ktorý ponúkajú aj na stránke. Len je mi trochu čudné, že ten vzorec dali až v ďalšej lekcii.

+ ja som rád, že je niekto kto mi pomôže s matikou dokonca aj cez prázdniny, takže do večera aj do ďalšieho kľudne počkám. Veď do konca prázdnin ešte času:)

jelena · 21. 07. 2008 23:01

↑ matoxy:

Zdravim :-)

K 1. prikladu nemam co dodat - take bych to tak resila. V napovede doporucuji pouzit vetu o trech limitach - ale nejak jsem nevymyslela nic prevratneho - stale se to smerovalo k l´Hospitalovi, ktereho zatim mame zakazaneho :-) .

Treba se na to podiva nekdo z kolegu, jak by se to dalo vyuzit.

V 2. priklade se pouzije vzorec 2.5 - je to rozklad na soucin (nebo take muzes zkusit nekolik kroku deleni citatele a jmenovatele. Prvni zavorka (x-a) v citateli se vykrati s jmenovatelem.

Dal uz, myslim, jasne? - uz jen dosadit a za x, dostaneme n(a)^(n-1)

Obe limity se daji moc dobre najit pomoci l´Hospitala, tak se k nim vrat, az to bude procviceno :-)

matoxy · 22. 07. 2008 15:33

Tiež zdravím,
ten druhý príklad vyšiel podľa toho vzroca takto: $\lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=\lim_{x \to a}x^{(n-1)}+x^{(n-2)}a^1+x^{(n-3)}a^2...a^{(n-1)}=x^{(n-1)}+x^{(n-2)}x^1+x^{(n-3)}x^2...x^{(n-1)}=nx^{(n-1)}$ .
Ďakujem.

matoxy · 22. 07. 2008 17:59

A ešte by som rád poradi? s takýmito nevlastnými limitami:
63. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{k}{x})^{mx}$ Vraj treba použi? ten vz?ah, ktorý sme použili aj vyššie u príkladu 105.
65. $\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2x-1}$
70. $\lim_{x\to\infty}\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^x$ Ja by som upravoval: $\lim_{x\to\infty}\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^x=\lim_{x\to\infty}x\left(1+\frac1x\right)^x=(\infty(1+0))^{\infty} =\infty^\infty=\infty$ Výsledok však uvádzajú 1
86. $\lim_{x \to 0^\small-}2^{\frac1x}$ Uvádzajú výsledok 0, ale podla mňa je to nekonečno, lebo 1/x ak x->0 je oo a hocičo na nekonečnú, čo je väčšie od 1 je nekonečno nie?

Matematické Fórum

#1 14. 07. 2008 12:36 — Editoval matoxy (14. 07. 2008 13:37)

Limity

#2 14. 07. 2008 13:12 — Editoval jelena (14. 07. 2008 19:47)

Re: Limity

#3 14. 07. 2008 13:20 — Editoval jelena (14. 07. 2008 19:48)

Re: Limity

#4 14. 07. 2008 13:48 — Editoval jelena (14. 07. 2008 19:51)

Re: Limity

#5 14. 07. 2008 13:49

Re: Limity

#6 14. 07. 2008 13:51

Re: Limity

#7 14. 07. 2008 14:11

Re: Limity

#8 14. 07. 2008 22:13 — Editoval matoxy (14. 07. 2008 22:15)

Re: Limity

#9 14. 07. 2008 22:28

Re: Limity

#10 15. 07. 2008 10:45

Re: Limity

#11 15. 07. 2008 19:35 — Editoval matoxy (15. 07. 2008 20:26)

Re: Limity

#12 15. 07. 2008 20:17

Re: Limity

#13 15. 07. 2008 20:36 — Editoval matoxy (16. 07. 2008 00:01)

Re: Limity

#14 15. 07. 2008 22:58 — Editoval jelena (15. 07. 2008 23:24)

Re: Limity

#15 16. 07. 2008 00:25

Re: Limity

#16 17. 07. 2008 18:26

Re: Limity

#17 18. 07. 2008 14:49

Re: Limity

#18 18. 07. 2008 14:54

Re: Limity

#19 19. 07. 2008 15:38 — Editoval matoxy (20. 07. 2008 14:04)

Re: Limity

#20 20. 07. 2008 00:15

Re: Limity

#21 20. 07. 2008 14:27

Re: Limity

#22 20. 07. 2008 21:36 — Editoval matoxy (21. 07. 2008 16:11)

Re: Limity

#23 21. 07. 2008 23:01

Re: Limity

#24 22. 07. 2008 15:33

Re: Limity

#25 22. 07. 2008 17:59

Re: Limity

Zápatí