Matematické Fórum

zuzule · 13. 11. 2011 19:11

Ahoj počítal jsem jeden příklad už asik 4x a pořád se nemůžu dostat k výsledku a nenapadá mě, co bych měla změnit a kde dělám chybu. Chtěla jsem někoho poprosit, jestli by se na to podíval a popřípadě odhalil chybu, kterou dělám.

Zadání:
Najděte metodou variace konstanty obecné řešení diferenciální rovnice
$y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=\frac{e^{-x}}{e^x+1}$

Postup řešení:

Převedu si to na charakteristickou rovnici $\lambda ^2+3\lambda +2=0$ charakteristická čísla jsou
$\lambda_1=-2\ a\ \lambda _2=-1 \Rightarrow y_1=e^{-2x}\ a\ y_2=e^{-x}$

Nehomogení rovnice pak je $y=C_1(x)e^{-2x}+C_2(x)e^{-x}$ , kde $C_1(x)\ a\ C_2(x)$ splňují soustavu
$C_1^\prime(x)e^{-2x}+C^\prime_2(x)e^{-x}=0$
$-2C_1^\prime(x)e^{-2x}-C^\prime_2(x)e^{-x}=\frac{e^{-x}}{e^x+1}$

Po úpravě mi vyšlo, že:
$C^\prime_1(x)=-\frac{e^{x}}{e^x+1}\Rightarrow C_1(x)=-\int\frac{e^x}{e^x+1}dx=-ln(e^x+1)+C_1$

$-\frac{e^x}{e^x+1}e^{-2x}+C^\prime_2(x)e^{-x}=0$
$C^\prime_2(x)=\frac{1}{e^x+1}\Rightarrow \int\frac{1}{e^x+1}dx=x-ln(e^x+1)+C_2$

Obecné řešemí nehomogení úlohy mi pak vyšlo
$y(x)=(-ln(e^x+1)+C_1)e^{-2x}+(x-ln(e^x+1)+C_2)e^{-x}=\\=-ln(e^e+1)e^{-2x}+C_1e^{-2x}+e^{-x}ln(e^x+1)+C_2e^{-x}+xe^x$

Ale mělo by mi vyjít
$y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}-e^{-x}ln(1+e^{-x})-e^{-2x}ln(1+e^{-x})$

Děkuju za každou radu.

jelena · 13. 11. 2011 19:55

Zdravím,

upravila jsem poslední řádek pro y(x), aby byl viditelný (neviděla jsem konec). Až na "minus" u 3. členu jsem chybu nenašla:

$y(x)=\ldots-e^{-x}\ln(e^x+1)+C_2e^{-x}+xe^x$

Zkoušela jsi online nástroje? Děkuji.

zuzule · 13. 11. 2011 20:05

Díky za úpravu a kontrolu.
Nezkoušela, protože vůbec nevím co bych tam měla zadat.

jelena · 13. 11. 2011 20:24

↑ zuzule:

:-) do Wolframu zadáš toto (apostrofy jsou z anglické klávesnice) a do MAW jen vyplníš koeficienty a pravou stranu - zde. Pro online nástroje máme i celou sekci, kdybys potřebovala něco poradit, jak zadat, nebo prokonzultovat, co stroj nabízí.

zuzule · 13. 11. 2011 20:36

Když to zadám do wolframu tak výjde výsledek, ke kterému jsem došla já takže ten u toho příkladu je špatně? Děkuju za pomoc

jelena · 13. 11. 2011 21:20

↑ zuzule:

vypadá to tak, že v "oficiálním výsledku" vypadl $xe^x$ , zkoušela jsi i v MAW? Děkuji. Pokud je to vaše interní sbírka, obvykle je uveden autor, můžeš se poptat na výsledek - zda překlep.

Máš moc hezké a přehledné úvodní příspěvky, děkuji.

zuzule · 14. 11. 2011 13:24

Jde o příklady z našich skript a je to převzato z téhle stránky příklad číslo 4 z úloh k samostatnému řešení http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapi … a_9_3.pdf, také tam maj stejný výsledek jako mám ve skriptech. Ano MAW jsem taky zkoušela a vyšel stejný výsledek jako ve wolframu.
Poptám se ještě vyučujícího.
Děkuju :-)

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2011 19:11

Diferenciální rovnice (varianta konstant)

#2 13. 11. 2011 19:55

Re: Diferenciální rovnice (varianta konstant)

#3 13. 11. 2011 20:05

Re: Diferenciální rovnice (varianta konstant)

#4 13. 11. 2011 20:24

Re: Diferenciální rovnice (varianta konstant)

#5 13. 11. 2011 20:36

Re: Diferenciální rovnice (varianta konstant)

#6 13. 11. 2011 21:20

Re: Diferenciální rovnice (varianta konstant)

#7 14. 11. 2011 13:24

Re: Diferenciální rovnice (varianta konstant)

Zápatí