Matematické Fórum

Tak už nás nenapínejte a prozraďte postup i s výsledkem :-)

Zdravím všechny, vidím, že limita je opravdu oříšek. A tak je to správně :-) Takže uvedu několik prvních kroků, snad to pomůže. Nejdříve zavedu substituci n=1/x, pak limitu vyjádřím pomocí nové proměnné x a nakonec přepíšu mocninu vhodnějším způsobem.





Zbytek někdy příště :-)

↑ Pavel:

tak pokračování:

podle L'Hospitalova pravidla je



z aritmetiky limit a jednodušší limity (jednoduše řešitelná jako limita složené funkce + L'Hospital nebo se to dá jednoduše převést na známou limitu ) máme s Taylorovým rozvojem pro v okolí nuly



Všechny předpoklady použitých vět byly splněny (kdo nevěří, ověří), takže původní limita je opravdu .

Doufam, že jsem někde neudělal nějakou hloupou chybu :-)

Podobným způsobem je možné počítat limitu. Místo rozdílu je v ní podíl. O to je to jednodušší.

↑ Technik:

Ahoj, mě to vyšlo , ale tipuju, že si to omylem místo umocnění vynásobil, ne? :-)

EDIT: Teď jsem si všiml, že je správná odpověd na původní limitu, na tu už jsem zapomněl a řešil další :-) Takže se omlouvam.

↑ Pavel:

No dobře, abychom to tady neřešili do nekoncečna, vyřešim to všechno najednou :-)

Funkce má Taylorův rozvoj (koeficienty označím ):



Zavedu nyní posloupnosti (i značí člen posloupnosti, j o kolikátou poslopnost se jedná) a přirozené logaritmy jejich limit:



A nyní indukcí dokážu :

1. (jak je zřejmé z definice e)

2. Předpokládáme, že pro všechna . Potom



Takže kdybys chtěl tvořit limity dalších stupňů, tak to jsou exponenciely koeficientů Taylorova rozvoje funkce . Doufám, že to nejde ukázat nějak triviálně, když jsem se s tim takhle vypisoval :-)

Tak jsem tu limitu počítal, žádná krása - substituce x=1/n, 2 krát l'Hospital, Taylorův rozvoj ln(1+x) a vyšlo .

Napadlo mě udělat Taylorův rozvoj funkce v bodě a=0. Protože je výpočet derivací dosti divoký, vypomohl jsem si Maplem 11. A tady je výsledek:

Já bych spojitě dodefinoval funkci v 0 - . Pak už bych derivace v bodě 0 počítal podle definice

. Znám-li první derivaci v 0, šel bych k derivacím vyšších řádů.

Zdravim asi po 2 mesicich me absence....mam asi spoooustu neomluvenych hodin, co? Technika zklamala :-( Jsem rada, ze se tu nezahali ani o prazdninach.

Diky za prikladek, ja tu puvodni limitu nakonec zkrotila i bez Taylorova rozvoje klasickym L'Hospitalem ;-) Jako trenink po 2 letech na matersky supr :-))

Moc hezky, super. Teď ještě jednotlivé limity zkombinovat:



:-)

↑ Pavel:

Podle programu Mathematica:




Řekl bych, že to Mathematica jen neumí. Počítat se mi ta limita ale vůbec nechce :-) Takhle můžeš sestavit spoustu různých limit, ale hledat obecný způsob jak ty limity vyčíslit se mi už nechce :-) (bude to asi o dost těžší než předchozí příklady)

EDIT: Pokud snad nechceš v těchto limitách pokračovat (já myslím, že jsme si jich užili dost), tak navrhuji, abys zadal další prázdninový příklad :-) Třeba nějaký hezký prázdninový integrál :-) Nebo prázdninovou diferenciální rovnici. (Procvičení těchto oblastí by se mi hodilo i ke zkoušce, kterou budu dělat v září, z limit už zkoušku mám :-)

Ahoj. K tomu tvému poslednímu problému. Mathematica umí spočítat všechny typy limit, které si vymyslíš. Limity totiž nejsou tak komplikované jako integrály a existuje deterministický postup, kterým vyřešíš každou limitu (Taylor, je prasácký, ale vždy vede do cíle). Konkrétně v tom co si napsal je v pořádku, jak to vyšlo. Očekáváš asi výsledek 1 a možná tě nepřekvapí, když řeknu že absolutní hodnota z výsledku je 1 a celé číslo je komplexní. Pokud bys výraz uvnitř bral jako posloupnost, pak jednoduše bude neabsolutně divergovat (konkrétně oscilovat).