Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 16. 11. 2011 17:40

Ahoj, mám dokázat, že pro komutativní tenzory $\mathbf{A}$ , $\mathbf B$ platí:
$\exp(\mathbf A + \mathbf B)=\exp(\mathbf A)\exp(\mathbf B)$ ,
kde $\mathbf{AB}$ značí skládání tenzorů ( $(\mathbf{AB}) \textit{\textbf{x}}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\textit{\textbf{x}})$ , $\forall \textit{\textbf{x}} \in \mathbb E^n$ ).

Kam jsem se dostal:
$\exp(\mathbf A + \mathbf B)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\mathbf A + \mathbf B)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\[ \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k} {k\choose i}\mathbf{A}^i\mathbf{B}^{k-i} \]=\sum_{k=0}^{\infty}\[ \sum_{i=0}^{k} \frac{k!}{(k-i)!i!k!}\mathbf{A}^i\mathbf{B}^{k-i} \]=\sum_{k=0}^{\infty}\[ \sum_{i=0}^{k} \frac{\mathbf{A}^i\mathbf{B}^{k-i} }{(k-i)!i!}\]$

$\exp(\mathbf A)\exp(\mathbf B)=$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathbf A^k}{k!}$ $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\mathbf B^i}{i!}$=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\mathbf{A}^k\mathbf{B}^i}{k!i!}$ .

Výrazy už vypadají podobně, ale neumím to dokončit. Díky za rady!