Matematické Fórum

Zbyšek · 27. 07. 2008 19:13

"Poloměr kružnice vepsané pravidelnému desetiúhelníku je p=10cm.Vypočtěte:
Délku strany a"
Nevím si rady s výpočtem strany a, Obsah vychází 324,9 cm2.

Pavel Brožek · 27. 07. 2008 20:22

U těhle úloh se vychází z pravoúhlého trojúhelníku s vrcholy - střed n-úhelníku (A), vrchol n-úhelníku (B) a střed jedné z hran příslušné tomu vrcholu (C). Úhel BAC je tady zřejmě 1/20 plného úhlu, takže $\frac{\pi}{10}$ . Známe délku strany AC (je to poloměr kružnice vepsané) a víme, že BC je polovina strany desetiúhelníku a, takže víme, že

$\tan\frac{\pi}{10}=\frac{\frac{a}{2}}{p}=\frac{a}{20}$

Z toho $a\approx6,5 \textrm{cm}$

Cheop · 30. 07. 2008 10:29 — Editoval Cheop (30. 07. 2008 14:56)

↑ Zbyšek:
Pokud označíme: R - poloměr kružnice n-úhelníku vepsané
a - délka strany n-úhelníka
n - počet vrcholů n-úhelníka
Pak obecně platí:
$a=2R\cdot\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ kde $\pi=180\,^{\circ}$

V našem případě:

$a=2\cdot 10\cdot\tan\left(\frac{180}{10}\right)\nla=20\cdot\,0,32492\nla\,\approx\,6,5\,[cm]$

Kdybychom chtěli spočítat obsah S n-úhelníka pak obecně by to bylo:

$S=\frac{a\cdot R\cdot n}{2}$ - úpravou
$S=R^2\cdot n\cdot\tan\left(\frac{180}{n}\right)$

$S=\frac{a^2\cdot n}{4\,\tan\left(\frac{180}{n}\right)}$

V našem případě:

$S=10^2\cdot 10\cdot\tan\left(\frac{180}{10}\right)\nlS=1000\cdot 0,32492\nlS\,\approx\,324,92\,[cm^2]$

Matematické Fórum

#1 27. 07. 2008 19:13

Desetiúhelník, délka strany

#2 27. 07. 2008 20:22

Re: Desetiúhelník, délka strany

#3 30. 07. 2008 10:29 — Editoval Cheop (30. 07. 2008 14:56)

Re: Desetiúhelník, délka strany

Zápatí