Matematické Fórum

Zbyšek · 30. 07. 2008 19:15

Čau, nedaří se mi dobádat ke správnému výsledku u těchto dvou příkladů.
Díky za pomoc

$\sqrt{x+9}-\sqrt{x+6}=1$

$\sqrt{x+5}\le2\sqrt{4-x}$

Pavel Brožek · 30. 07. 2008 19:57

1.příklad
$\sqrt{x+9}-\sqrt{x+6}=1$
$\sqrt{x+9}=\sqrt{x+6}+1$
Umocnění (důsledková úprava => nutno provést zkoušku)
$x+9=x+6+2\sqrt{x+6}+1$
$1=\sqrt{x+6}$
Po umocnění
$1=x+6$
$x=-5$

Dosazením se přesvědčíme, že x=-5 je opravdu řešením rovnice.

2.příklad
$\sqrt{x+5}\le2\sqrt{4-x}$

rovnice má smysl pouze pokud $x+5\ge0$ a zároveň $4-x\ge0$ , tedy $x\in\langle-5;4\rangle$ . Pro tyto x jsou obě strany nerovnosti nezáporné, takže úprava umocnění na druhou bude ekvivalentní úpravou

$x+5\le 4(4-x)$
$x\le\frac{11}{5}$

Řešením je tedy množina $x\in\langle-5;4\rangle\cap(-\infty;\frac{11}{5}\rangle=\langle-5;\frac{11}{5}\rangle$ .

Zbyšek · 12. 08. 2008 16:36

Chtěl bych se zeptat jak postupovat při řešení tohoto příkladu.Konkrétně si nevím rady jak získat nulový bod z čitatele.Díky
$\frac{x+2\sqrt{x}-15}{2-\sqrt{x}}\le0$

ttopi · 12. 08. 2008 17:27

Třeba přes kvadratickou rovnici.

$x+2\sqrt{x}-15=0 \nl 2\sqrt{x}=15-x /^2 \nl 4x=225-30x+x^2 \nl x^2-34x+225=0 \nl x=9$

Pak si to rozdělíš na intervaly $\langle 0;4) , (4;9\rangle , \langle9;+\infty)$

Ale dál už určitě víš.

Kondr · 12. 08. 2008 17:31

Čitatel je pro $\sqrt{x}=y$ roven $y^2+2y-15=(y-3)(y+5)=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+5)$ .
První závorka je nulová pro x=9, druhá nikdy, jmenovatel pro x=4. Pro x<0 nemá nerovnice smysl. Jde nám tedy o intervaly
<0,4), (4,9>,<9,oo).

Technická: Pokud neuhodneš, že kořeny toho
y^2+2y-15 jsou 3 a -5, použij vzorec pro řešení kvadratické rovnice. Osobně doporučuju se naučit, jak řešení uhodnout, na písemkách to šetří čas, který může scházet jinde. (Je to jednodušší, než se zdá, stačí uhodnout, jaká čísla mají součet -2 a součin -15.)

Matematické Fórum

#1 30. 07. 2008 19:15

(Ne)rovnice, výpočet

#2 30. 07. 2008 19:57

Re: (Ne)rovnice, výpočet

#3 12. 08. 2008 16:36

Re: (Ne)rovnice, výpočet

#4 12. 08. 2008 17:27

Re: (Ne)rovnice, výpočet

#5 12. 08. 2008 17:31

Re: (Ne)rovnice, výpočet

Zápatí