Matematické Fórum

night_gnome · 21. 11. 2011 16:56

Dobrý den, jak zjistit, zda má $f(x)=\frac{1}{2} + \sin \frac{1}{x-6}$ limitu zprava v bodě 6, popř.: jakou?

vanok · 21. 11. 2011 17:02

Ahoj ↑ night_gnome:,
Nezda sa mi ze v 6 existuje limita.
Lebo sin tam velmi osciluje ....medzi -1 a 1.

Rumburak

↑ night_gnome:

Zkus úlohu nejprve zjednodušit: prozkoumej otázku limity v 0 zprava pro funkci $g(x)= \sin \frac{1}{x}$ .
Výsledek pak aplikuj na složitější funkci $f$ .

night_gnome · 21. 11. 2011 17:05

↑ vanok:

limita neexistuje, jen nevím, jak to početně dokázat :/

Rumburak · 21. 11. 2011 17:11

↑ night_gnome:

Vyjdi z tzv. Heineho definice limity a najdi dvě poslouonosti $(u_n)$ , $(v_n)$ obě konvergující zprava k číslu 6 ale takové,
aby posloupnosti $(f(u_n))$ , $(f(v_n))$ měly různé limity.

vanok · 21. 11. 2011 17:13 — Editoval vanok (21. 11. 2011 17:33)

↑ night_gnome:,
Mozes pracovat ako navrhol kolega v okoli 0.
Pozri aj sem
http://www.math.washington.edu/~conroy/ … sin1overx/
A toto je zaujimava poznamka v tomto dokumente je
To see this, consider that sin(x) is equal to zero at every multiple of pi, and it wobbles between 0 and 1 or -1 between each multiple. Hence, sin(1/x) will be zero at every x = 1/(pi k), where k is a positive integer. In between each consecutive pair of these values, sin(1/x) wobbles from 0, to -1, to 1 and back to 0.

night_gnome

↑ Rumburak:
bohužel, nevím jak řešit ani tu jednoduchou funkci $g(x)=\sin \frac{1}{x}$ můžete mi to rozepsat ? Snad mě to nakopne a půjde mi to lépe...

edit: rozumím tomu tak, že pokud zde již není žádná možnost jak se zbavit 0 ve jmenovateli -> limita nemá řešení ?

vanok · 21. 11. 2011 17:25

↑ night_gnome:,
Skor, ak je viac hromadnych bodov v okoli bodu kde hladame limitu.

michaela20

Dobrý večer, nenašela by se dobrá, která si ví rady s těmito příklady?? Jsem v koncích..

lim (x> 0)=(sin4*x)/(sqrt(x+1)-1)

a

lim (x> 0-) = (sqrt(1-cos2*x)/x)

děkuji

jelena · 22. 11. 2011 00:03

↑ michaela20:

Zdravím, pokud potřebuješ více podrobně, založ si prosím, své vlastní téma (a příště vždy své vlastní), děkuji.

1) rozšířit výrazem $\frac{(\sqrt{x+1}+1)4}{4(\sqrt{x+1}+1)}$
2) použit vzorec pro $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$

Velmi užitečný materiál (děkuji autorům).

Rumburak

↑ night_gnome:

O.K. Řešme tedy nejprve otázku limity v 0+ funkce $g(x)=\sin \frac{1}{x}$ . Funkce g je vlastně složenou funkcí tvaru

$g(x)=\sin h(x)$ , kde $h(x) := \frac{1}{x}$ .

Pro $x \to 0+$ dostáváme, že $h(x) \to +\infty$ (snad je jasné, že tím míním výrok $\lim_{x \to 0+} h(x)= +\infty$ ).
Pokud by tedy existovata

(?) $\lim_{y \to +\infty} \sin y = L$ ,

pak by podle věty o limitě složené funkce $g = \sin \circ h$ muselo platit též $\lim_{x \to 0+} g(x)= L$ .
Důkaz, že poslední limita neexistuje, zkusme proto opřít o skutečnost, že především neexistuje limita v (?) .
Bude výhodné postupovat sporem s Heineho definicí limity, tj. najděme dvě posloupnosti $(y_n)$ , $(z_n)$
jdoucí k $+\infty$ takové, aby existovaly limity

$Y=\lim_{n \to +\infty} \sin y_n$ , $Z = \lim_{n \to +\infty} \sin z_n$ ,

které by však byly navzájem různé, tj. $Z \ne Y$ . To bys mohla zvládnout. Až toto vyřešíš, bude Ti možná už zbytek jasný,
kdyby ne, dej vědět.