Matematické Fórum

Pavel · 01. 08. 2008 00:58 — Editoval Pavel (01. 08. 2008 02:01)

Najděte funkci f(x), která je definována v okolí bodu a a platí

$f''(a)\,\neq\,\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)}{h^2}$ .

Pavel Brožek · 01. 08. 2008 09:53

Bez újmy na obecnosti volím a=0. Můžu psát

$f(h)=f(0)+f'(0)h+\frac12f''(0)h^2+o(h^2)$ , protože

$\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)-f'(0)h-\frac12f''(0)h^2}{h^2}=\lim_{h\to0}\left(\frac{f(h)-f(0)-f'(0)h}{h^2}\right)-\frac12f''(0)=^{\textrm{l'Hospital}}\lim_{h\to0}\left(\frac{f'(h)-f'(0)}{2h}\right)-\frac12f''(0)=\frac12f''(0)-\frac12f''(0)=0$

Pro limitu ze zadání tedy platí

$\lim_{h\to 0}\frac{f(2h)-2f(h)+f(0)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f(0)+f'(0)(2h)+\frac12f''(0)(2h)^2+o((2h)^2)-2(f(0)+f'(0)h+\frac12f''(0)h^2+o(h^2))+f(0)}{h^2}=$

$=\lim_{h\to 0}\frac{f''(0)h^2+o(h^2)}{h^2}=f''(0)$ .

Taková funkce tedy neexistuje, nebo se pletu?

Pavel · 01. 08. 2008 10:05 — Editoval Pavel (01. 08. 2008 10:12)

Teď po ránu koukám, že jsem zadání mohl upřesnit (psal jsem to ve dvě v noci, kdy jsem dostal nápad :-) ). Zadání upřesním.

V literatuře se uvádí, že existuje-li $f''(a)$ , je možné ji vypočítat jako limitu $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)}{h^2}$ . Otázka je, zda existuje funkce definovaná na okolí bodu a, pro kterou předchozí limita existuje, avšak $f''(a)$ nikoli? Jednu jsem našel.

Pavel Brožek

Jednu bych asi měl, ale neni moc hezká:

První derivace v nule neexistuje, protože

$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}$

Mohu ale vybrat dvě posloupnosti $\left{\frac{3}{2^n}\right}_{n=1}^{\infty}$ a $\left{\frac{1}{2^n}\right}_{n=1}^{\infty}$ , které s Heineho větou dávají neexistenci limity. Z neexistence první derivace v nule plyne neexistence derivace druhé. Limita ze zadání je ale rovna nule.

Marian · 01. 08. 2008 11:43 — Editoval Marian (01. 08. 2008 12:35)

Taky jsem jednu takovou funkci nasel. Definuji
$f(x):=x^3\cdot D(x),\qquad x\in\mathbb{R},$
kde D(x) znaci Dirichletovu funkci. Budu vysetrovat vlastnosti okoli bodu x=a:=0 (BÚNO).

(1) Plati jiste
$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{f(2h)-2f(h)+f(0)}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{8h^3\cdot D(2h)-2h^3\cdot D(h)}{h^2}=\nl =\lim_{h\to 0}h\cdot (8D(2h)-2D(h))=\lim_{h\to 0}6h\cdot D(h)=0.$

(2) Dale vysetrim 1. derivaci funkce f(x) a ukazu, ze je rovna nule v bode x=0.
$f'(0):=\lim_{h\to 0}\frac{h^3\cdot D(h)}{h}=0.$

(3) Derivace ovsem neexistuje na prstencovem okoli bodu x=0. Provedu v podstate dve diskuze.
(a) Necht $\varphi\notin\mathbb{Q}$ je takovy bod nalezejici do prstencoveho okoli bodu x=0. Pak
$f'(\varphi)=\lim_{h\to 0}\frac{(\varphi +h)^3\cdot D(\varphi +h)-\varphi ^3\cdot D(\varphi)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(\varphi +h)^3\cdot D(\varphi +h)}{h}=\nl =\lim_{h\to 0}\frac{\varphi ^3+3\varphi ^2h}{h}\cdot D(\varphi +h)+\lim_{h\to 0}(3\varphi h+h^2)\cdot D(\varphi +h)=\nl =\varphi ^2\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\varphi +3h}{h}\cdot D(h+\varphi).$
Bude-li ale $h+\varphi\notin\mathbb{Q}$ , pak je $f'(\varphi )=0$ . Bude-li $h+\varphi\in\mathbb{Q}$ , pak je
$f'(\varphi)=\varphi ^2\lim_{h\to 0}\frac{\varphi +3h}{h}=\varphi ^2\cdot\left (3+\varphi\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\right ).$
Ale tato limita neexistuje. Deriace zavisi na volbe cisla h a neexistuje pro $\varphi\notin\mathbb{Q}$ .
(b) Necht $\varphi\in\mathbb{Q}$ je takovy bod nalezejici do prstencoveho okoli bodu x=0. Pak
$f'(\varphi)=\cdots =\lim_{h\to 0}\frac{(\varphi +h)^3\cdot D(\varphi +h)-\varphi ^3}{h}=\nl =\varphi ^2\lim_{h\to 0}\frac{(\varphi +3h)\cdot D(\varphi +h)-\varphi}{h}+\lim_{h\to 0}(3\varphi h+h^2)\cdot D(\varphi +h)=\nl =\varphi ^2\lim_{h\to 0}\frac{(\varphi +3h)\cdot D(\varphi +h)-\varphi}{h}.$
Provede se stejna uvaha jako v bode (a) pro cisla $\varphi +h$ a ukaze se, ze limita zavisi na algebraicke povaze cisla h. Pro $\varphi +h\notin\mathbb{Q}$ nebude limita existovat vubec, pro $\varphi +h\in\mathbb{Q}$ je ale $f'(\varphi )=3\varphi ^2$ .

Tedy derivace neeixistuje na prstencovem okoli bodu x=0, nebude tedy existovat ani druha derivace v bode x=0.

Zaver. Funkce $x^3\cdot D(x)$ splnuje Pavlovo upravene zadani.

Poznamka. Funkce $g(x):=x^2\cdot D(x)$ je o to horsi nez funkce f(x), ze nebude existovat dokonce ani limita
$\lim_{h\to 0}\frac{g(2h)-2g(h)+g(0)}{h^2}.$

Marian · 04. 08. 2008 15:02

↑ Pavel:

Poprosil bych Pavla o jeho řešení k prázdninové funkci.

Pavel · 04. 08. 2008 15:56

↑ Marian:

Moje funkce, podle níž jsem formuloval otázku, je podobná jako Tvoje - mocnina krát Dirichlet :-) Moje původní úvaha, jak formulovat otázku, směřovala k funkci, která je v jednom bodě neomezeně diferencovatelná a všude jinde není ani spojitá, což, jak se hned ukázalo, není možné. Chtěl jsem problém směřovat na funkci

$D(x)\cdot e^{-\frac 1{x^2}}$

Nakonec jsem slevil ze svých požadavků, a to na druhou derivaci, a problém trochu pozměnil.

Napadla mě ještě jedna úloha:

Podobným způsobem, jako Marián ukázal, lze jednoduše vytvořit funkci diferencovatelnou v jednom bodě a nespojitou v ostatních. Otázka je:

1. Existuje funcke, která by byla diferencovatelná ve všech racionálních číslech a v iracionálních by nebyla ani spojitá?

2. Existuje funkce, která by byla diferencovatelná ve všech iracionálních číslech a v racionálních by nebyla ani spojitá?

Na dva týdny se budu muset odmlčet, takže na případné příspěvky nebudu reagovat. Zítra začnu konvergovat do Provance ve Francii.

Marian · 04. 08. 2008 16:06

↑ Pavel:

Snad bude konvergence rychlá.

A pozor na mé jméno. Já jsem Marian s krátkým druhým "a". Nemám totiž české jméno, ale polské. S příjmením je to trochu jiné, to je pro změnu bulharské. Možná se budete také divit té míchanině, ale vystudoval jsem s vyznamenáním germanistiku.

Pavel · 04. 08. 2008 16:48

↑ Marian:

Netušil jsem, že v tom je rozdíl, Mariane. Dám si příště pozor.

Matematické Fórum

#1 01. 08. 2008 00:58 — Editoval Pavel (01. 08. 2008 02:01)

Prázdninová funkce

#2 01. 08. 2008 09:53

Re: Prázdninová funkce

#3 01. 08. 2008 10:05 — Editoval Pavel (01. 08. 2008 10:12)

Re: Prázdninová funkce

#4 01. 08. 2008 11:19 — Editoval BrozekP (01. 08. 2008 12:10)

Re: Prázdninová funkce

#5 01. 08. 2008 11:43 — Editoval Marian (01. 08. 2008 12:35)

Re: Prázdninová funkce

#6 04. 08. 2008 15:02

Re: Prázdninová funkce

#7 04. 08. 2008 15:56

Re: Prázdninová funkce

#8 04. 08. 2008 16:06

Re: Prázdninová funkce

#9 04. 08. 2008 16:48

Re: Prázdninová funkce

Zápatí