Matematické Fórum

ok porovnavam dve celkove sily ve vzdalenosti r od osy otaceni pusobi sila F=dS*p(r)+dmw^2*r ve vydalenosti r+dr F=dS*p(r+dr) asi to neni uplne jasne jedna se mi o tlak v ose otaceni valce.
Pokud ty to dve sily porovnam potrebuji prave p(r+dr) rozlozit aby sla diferencialni rovnice resit. . myslim ze vysledek mi vychazi rozume hustota v zavisloti na vzdalenosti od osy=puvodni hustota*e^1/2k*r^2 pricemz k=w^2*/T*R . .ale neim jestli tedy muzu povazovat dr za nekonecne male .. v pouziti ve fiyzice mi delaji trochu problemy diferencialy a tak.  . .

Nevim přesně, co má říct výraz dmw^2*r :-/

Ale jinak co se týče toho Taylorova rozvoje. O výrazu p(r+dr) lze říci, že je roven p(r). dr je zanedbatelné vždy vůči r, takže to tak lze psát. Něco jiného je u p(r+dr) - p(r). Pokud by zanedbání vedlo k tomu, že výsledek nebude závislý na r, pak byl rozvoj p(r+dr) příliš hrubý. Platí

r >> dr >> dr^2 >> dr^3 >> ...

Zcela obecně se postupuje tak, že se rozepíše celý taylorův rozvoj (už bylo psáno přede mnou)

p(r+dr) = p(r) + p'(r) dr + 1/2 p''(r) dr^2 + 1/6 p'''(r) dr^3 + 1/24 p^(4) dr^4 + ...

S tím, že po úpravě celého výrazu se některé členy mohou odečíst a až v konečném výsledku necháš člen s nejnižším členem dr a ostatní zanedbáš. Toto platí pro velmi malé dr. Ve fyzice neco jako neknoečně malý přírůstek si představujeme těžko, ale přesto nás většinou zajímá první nenulový člen Taylorova rozvoje. Pro "relativně malou" hodnotu výchylky bude platit, že vyšší členy taylorova rozvoje jsou opravdu zanedbatelné. Nicméně s diferenciály se počítá i ve fyzice. Musíš si vždy rozmyslet, jestli je v zadání úkolu dx popsáno jako diferenciál (matematický prvek) a nebo naměřená hodnota nějaké výchylky. Je však zvykem symbolem "d.." značit výhradně diferenciály.

Malý příklad (pokud to snad někoho zajímá :-D )

Urči hodnotu funkce f(x) v bodě dx (neboli kolik je f(0+dx)).
f(x) = Cos(3x) + Cos(4x) - 25*Cos(x) + 23.

Výsledek je 13*něco. Neprozrazuju celý výsledek, pokud si to chceš vyzkoušet.

Hint:
T. Rozvoj funkce cos(x) kolem bodu 0 je