Matematické Fórum

Passiv · 24. 11. 2011 15:18

Zdravim, mam najst normalovu priamku k hyperbole $x^{2} /2 - y^{2} = 1$ tak, aby bola rovnobezna s priamkou $y=3x +1$ . Mam urcit rovnicu normaly a suradnice spolocneho bodu.
problem : vychadzaju mi tam komplexne cisla...

mam to zle, alebo tam mam napisat ze to nema riesenie alebo nieco podobne ?
dakujem za pomoc.

Rumburak

↑ Passiv:

Podrobně jsem to nepčítal, ale jiné indicie (náčrtek) naznačují, že úloha opravdu nemá řešení.
Ovšem podstatné je odůvodnit to výpočtem.

Normálovým vektorem té křivky v jejím bodě $[u, v]$ je $(u, -2v)$ (gradient funkce $f(x,y) = x^{2} /2 - y^{2} - 1$
v onom bodě), nebo též jeho (1/u)-násobek $\vec{n}= (1, -\frac{2v}{u})$ (splnění podmínky $u \ne 0$ je zřejmé).
Z rovnice $u^{2} /2 - v^{2} = 1$ plyne $|v| < \frac{|u|}{\sqrt2}$ , takže

(1) $\left|\frac{v}{u}\right| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Přímka $y = 3x +1$ má směrový vektor $\vec{t} = (1,3)$ . Pokud by ten byl zároveň normálovým vektorem naší hyperboly,
musela by být vzhledem ke tvaru vektorů $\vec{t}, \vec{n}$ splněna rovnice $3 =-\frac{2v}{u}$ pro některý bod $[u, v]$ hyperboly. Odtud

$\left|\frac{v}{u}\right| = \frac{3}{2}$ ,

což je však ve sporu s (1).

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2011 15:18

normalova priamka k hyperbole

#2 24. 11. 2011 16:49 — Editoval Rumburak (25. 11. 2011 11:27)

Re: normalova priamka k hyperbole

Zápatí