Matematické Fórum

granit · 18. 08. 2008 22:53

prosím o nástřel ${\lim}\limits_{x \to \0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-sinx}$ ...
zderivuji čitatele a jmenovatele je to tak ? $\frac{e^x-e^{-x}}{sinx}$ .. nejsem si jistý jak je to s derivací $e^{-x}$ :o) Diky

ttopi · 18. 08. 2008 23:48 — Editoval ttopi (18. 08. 2008 23:57)

Derivace nebo i integrace $e^{-x}$ zůstane $e^{-x}$ ale před to se hodí ještě mínus, takže $-e^{-x}$ přičemž v tvém případě to dá dohromady opět +.

jeleno taky Tě zdravím a přeju hezký večer, nebo už spíše noc :-)

jelena · 18. 08. 2008 23:54 — Editoval jelena (18. 08. 2008 23:55)

↑ granit:

Zdravím :-) předpokládám, že výsledek, který uvádiš $\frac{e^x-e^{-x}}{sinx}$ je po 2 "krocích" derivace čitatele a jmenovatele, ale pořád zůstává 0/0, proto musíme derivovat čitatel a jmenovatel ještě jednou, až dojdeme k:

${\lim}\limits_{x \to \0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-sin x}={\lim}\limits_{x \to \0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{1-cos x}={\lim}\limits_{x \to \0} \frac{e^x-e^{-x}}{sin x}={\lim}\limits_{x \to \0} \frac{e^x+e^{-x}}{cos x}=2$

$e^{-x}$ se derivuje jako složená funkce : $({e^{-x}})^{\prime}=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$

OK?

------
vidím, že kolega ttopi už odpovědel, ale když to tady tak vypisuji, tak už to také necham. A kolegu srdečně zdravím :-)

granit · 19. 08. 2008 05:27

Děkuji .. teď je to už jasné . Ty "e"čka mě zamotaly hlavu..

Marian · 19. 08. 2008 12:39 — Editoval Marian (19. 08. 2008 13:02)

↑ jelena:↑ granit:
Našel jsem zajímavější výpočet této limity pomocí jediného použití l'Hospitalova pravidla. Platí totiž

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^{x/2}-e^{-x/2})^2}{2\sin ^2\frac{x}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{\left (\frac{e^x-1}{e^{x/2}}\right )^2}{2\sin ^2\frac{x}{2}}=\nl =\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-1)^2}{\sin ^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\left (\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}}\right )^2=\frac{1}{2}\cdot\left (\frac{1}{\frac{1}{2}}\right )^2=\boxed{2}.$

Použil jsem vzorců
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\qquad\mathrm{a}\qquad\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k.$

EDIT.: A vidím, že se dá celá věc "zjednodušit" takto:
$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^{x/2}-e^{-x/2})^2}{2\sin ^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{t\to 0}\frac{(e^t-e^{-t})^2}{sin ^2t}=\nl =\frac{1}{2}\cdot\left (\lim_{t\to 0}\frac{\frac{(e^t-1)-(e^{-t}-1)}{t}}{\frac{\sin t}{t}}\right )^2=\frac{1}{2}\cdot\left (\frac{\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}+\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}}{\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}}\right )^2=\boxed{2},$
nebo? platí
$\lim_{t\to 0}\frac{e^{-t}-1}{t}=-\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=-1.$

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2008 22:53

pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu

#2 18. 08. 2008 23:48 — Editoval ttopi (18. 08. 2008 23:57)

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu

#3 18. 08. 2008 23:54 — Editoval jelena (18. 08. 2008 23:55)

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu

#4 19. 08. 2008 05:27

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu

#5 19. 08. 2008 12:39 — Editoval Marian (19. 08. 2008 13:02)

Re: pomocí l'Hospitalova pravidla spočítej limitu

Zápatí