Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj,
nemohu přijít na příklad množiny následujících vlastností:
Množina je uspořádaná.
má právě jeden maximální prvek
nemá největší prvek
je svazově uspořádaná.

Ve výsledcích je, že taková existuje, ale nemůže být konečná.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Díky za pomoc,
A

Edit: Vlastně bych měla později připojit můj padůkaz, že taková množina neexistuje.
Zanedlouho ale musím na chvíli pryč a budu tu pak až večer.
Protože mi ale nepřišel přesvědčivý a téma moc neznám, nenapsala jsem ho hned.

Důkaz

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Kde je chyba? V dukazu, nebo ve skriptech? Nebo v obojim? :)

Andrejka3 · 29. 11. 2011 14:08

↑ Andrejka3:
Asi jsem se přesvědčila, že mám pravdu.
Kdyby někdo něco našel, prosím napište.
Jinak se omlouvám za zbytečné vlákno a večer to označím za vyřešené.

Rumburak

↑ Andrejka3:

Ahoj, také si myslím, že máš pravdu.

Dejme tomu, že $(M, \le)$ je svaz s požadovanými vlastnostmi, $m \in M$ jeho jediný maximální prvek.

I. Předpokládejme, že $M - \{m\} \ne \emptyset$ a zvolme $x\in M - \{m\}$ . Potom existuje $s \in M$ takové, že $s = \sup \{ m, x \}$ .
To znamená m.j., že $s \ge m$ a také $s \ge x$ . V případě $s > m$ dostáváme spor s maximalitou prvku $m$ , takže nutně $s = m$
a tedy také $m \ge x$ , vzhledem k volbě prvku $x$ je dokonce $m > x$ . Tudíž $m$ je i největší prvek množiny $M$ .

II. V případě $M - \{m\} = \emptyset$ dostáváme triviálně tentýž výsledek .

Odvodili jsme spor, takže svaz $(M, \le)$ požadovaných vlastností neexistuje.