Matematické Fórum

semir3 · 22. 08. 2008 13:25

Určete neznámou souřadnici vektoru, je-li dáno:
a) r = (2;-4), p = (p_1 ;3)p//r
b) s = PQ, P = [2;-5],Q = [6;1]q = (-1,q_2)p\perp\q

musixx · 22. 08. 2008 13:38 — Editoval musixx (22. 08. 2008 14:09)

a) Predpokladam, ze chces, aby vektory byly rovnobezne. Vektor (a,b) je rovnobezny jen s vektory (ka,kb) pro nenulove k. Takze $p_1=2\cdot\left(-\frac34\right)$ .

b) Predpokladam, ze 'p' a 's' je preklep a je rec o vektoru 'p' a chces, aby 'q' byl kolmy na 'p'. To je tehdy a jen tehdy, kdyz skalarni soucin je nula, a protoze $p=(4,6)$ , tak skalarni soucin 'p' a 'q' je $4\cdot(-1)+6\cdot q_2$ . Poloz jej rovno nule a mas $q_2=\frac23$ .

semir3 · 22. 08. 2008 13:56

musixx:mockrát diky

semir3 · 22. 08. 2008 17:52

prosim vas ja bych k tomu potřeboval vypsat postup

O.o · 22. 08. 2008 18:52 — Editoval O.o (22. 08. 2008 19:55)

↑ semir3:

Add 1)
Když jsou vektory násobkem (jeden druhého), tak jsou rovnoběžné, takže stačí najít čím roznásobit jeden vektor, aby jsme se dostali k druhému, tj. k-krát vektor r je rovno vektoru p
<=>
k*(2;-4) = (p1;3)
=>
2k = p1
-4k = 3
----------
Soustavu rovnic už dořešíš jednoduše ;)

Add 2)
a) Vektor p leží na přímce, na které leží současně i body P a Q, tudíž vektor p má souřadnice (4; 6).
b) vektory jsou an sebe kolmé právě tehdy, když je jejich skalární součin roven nule
c) uděláme skalární součin těchto dvou vektorů a z toho vypočteme druhou souřadnici vektoru q <=> (vektory) p . q = 0 => 4*(-1) + 6*q2 = 0
Dále si to už dopočítej ;)

Doufám, že nevadí musixx, že jsem to zkusil trochu rozepsat.

fox32 · 23. 08. 2008 16:12 — Editoval fox32 (23. 08. 2008 18:12)

Ahoj mam problem s temito priklady:

1, je dan troj.ABC:A=[-3,4],B=[-2,-2],C=[1,3].Určete velikost: strany a,výšky Vc, těžnice Tc,střední příčky Sb. Urči obsah,uhel beta,poloměr kružnice opsane.

Hlavne nevim jak vypocitat těžnice Tc,střední příčky Sb,poloměr kružnice opsane.

2,Jsou dány body A=[-2,3,-1], B=[3,-1,5], C=[4,-5,1], D=[0,-4,-4]. Zjisti zda tyto body leží v jedne rovine.

Ja vubec nevim jak to zjistit.

3,a pls poradte jak poznam jestli jsou vektory linearne zavisle nebo jsou nezavisle

ttopi · 23. 08. 2008 16:37 — Editoval ttopi (23. 08. 2008 17:33)

↑ fox32:
1. Strana a se vypočítá buď jako velikost vektoru BC=C-B, nebo přímo jako velikost bodů. Ty vzorečky jsou si dost podobné.
Přes velikost vektoru: $BC=C-B=\bigl((1-(-2));(3-2) \bigr)=(3;1)$ . Tedy víš, že přepony trojúhelníka, který tvoří vektor BC, rovnoběžka s osou X vedoucí jeho počátkem a rovnoběžka s osou y, vedoucí koncem vektoru, jsou 9 a 1. Teď jednoduše přes Pythagorovu větu vypočítáš, že $a=\sqrt{10}$ .

Přes vzdálenost bodů: $|BC|=\sqrt{(c_x-b_x)^2+(c_y-b_y)^2}=\sqrt{(1-(-2))^2+(3-2)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

Tu výšku na stranu c uděláš jednoduše. Víš, že prochází bodem B a zároveň je kolmá na stranu b.
Určíš si tedy přímku strany b a přímku na ní kolmou tak, aby procházela bodem B. Pak uděláš průnik těchto příměk a získáš bod, který je patou výšky. Pak jen spočteš vzdálenost tohoto bodu (paty) od bodu B.
Moje přímky: $a: x+4y-13=0 \nl v_c: x-2y+6=0$ .
Získal jsem průsečík $L=[\frac13;\frac{19}{6}]$ . Pak $v_c=|BL|=\sqrt{(\frac13+2)^2+(\frac{19}{6}-2)^2}=\sqrt{(\frac73)^2+(\frac76)^2}=\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{49}{36}}=\sqrt{\frac{245}{36}}=\frac{\sqrt{245}}{6}=\frac{7\cdot \sqrt{5}}{6}$

Těžnice Tc je taky jednoduchá. Víš, že její pata leží ve středu strany b a opět prochází bodem B. Najdeš patu těžnice, bod L, který má souřadnice [-2;3,5] a vypočteš jeho vzdálenost od bodu B.

A konečně velikost střední příčky Sb, ta je asi nejjednodušší. Spočteš velikost strany b - přes vektor, nebo přes vzdálenost bodů, jak sem to popisoval na začátku. Výsledek pak vydělíš 2, protože střední příčka je vždy polovinou strany této příčce náležící a je s ní rovnoběžná.

Obsah trojúhelníka také není těžký. Znáš výšku Vc, znáš stranu c, pak je to $\frac{v_c \cdot c}{2}$

Na úhel dvou přímek existuje přímo vzorec. Najdi si přímku strany c, přímku strany a, pak vypočti úhel, který svírají.

3) Vektory jsou lineárně závislé, když je jeden násobkem druhého.
Například vektory (-1;2) a (-2;4) jsou LZ, protože druhý je dvojnásobkem prvního.
Například vektory (2;3) a (3;5) jsou LN, protože si nejsou násobkem.

O.o · 23. 08. 2008 17:15

↑ fox32:
Prosím tě, u té dvojky trochu odliš ten zápis, vůbec nerozumím, jak to máš napsané, o co jde .). Nějaké mezery za čárkami, atp. by určitě pomohlo.
Děkuji ;)

fox32 · 24. 08. 2008 19:32

pls potrebuju nutne aby mi nekdo vypocital

2,Jsou dány body A=[-2,3,-1], B=[3,-1,5], C=[4,-5,1], D=[0,-4,-4]. Zjisti zda tyto body leží v jedne rovine.

Ja vubec nevim jak to zjistit.

Jorica · 24. 08. 2008 19:59

↑ fox32:
Popostrcim te ;-) Pomoci techto 4 bodu urcis 3 vektory, napr AB, AC, AD. Tyto vektory lezi v jedne rovine, pokud jsou tzv. KOMPLANARNI (muzes si k tomu najit vic na netu). Pri vypoctu se vyuziva toho, ze SMISENY SOUCIN komplanarnich vektoru je nulovy.

Najdi si v sesite nebo na netu, jak se pocita smiseny soucit (jde o kombinaci skalarniho a vektoroveho soucinu, takze zadna hruza) a pokus se s tim poprat. Samo, ze se muzes ozvat, jak jsi postoupil (jake ti vysly souradnice vektoru) a nekdo ti to zkontroluje nebo ti poradi, pokud si neporadis s tim smisenym soucinem.

fox32 · 25. 08. 2008 18:54

↑ Jorica:

Ja vubec nwm a potřeboval jsem to na zejtra mam opravky

Jorica · 25. 08. 2008 21:57

↑ fox32:
No jo, ale tezko radit. Vektory ti urcim, ale zbytek? Kdybych to pocitala ja, pouziju determinant, ale kdyz jsem byla na stredni skole, determinanty jsme nepouzivali. To byl duvod, proc jsem te odkazovala na sesit nebo ucebnici.

Mame 4 body $A=[-2, 3, -1]$ , $B=[3, -1, 5]$ , $C=[4, -5, 1]$ a $D=[0, -4, -4]$ . Pomoci jejich souradnic urcime souradnice 3 vektoru:
$\vec{AB}=B-A=(5, -4, 6)$ ,
$\vec{AC}=C-A=(6, -8, 2)$ , (zde by slo kratit souradnice 2, ale tim te ted nebudu plest)
$\vec{AD}=D-A=(2, -7, -3)$ .

Smiseny soucin těchto 3 vektoru spocteme nasledovne:
$S=\vec{AB}\cdot$\vec{AC}\times\vec{AD}$$ , kde $\cdot$ označuje skalarni soucin vektoru a $\times$ vektorovy soucin vektoru.

Ted budes muset kouknout do poznamek, jak pocitate vektorovy soucin...ja uz to jinak nez pomoci determinantu neumim ;-)

$\vec{AC}\times\vec{AD}=(38, 22, -26)$
Celkove pak vyjde:
$S=$5, -4, 6$\cdot$38, 22, -26$=-54$ .

Protoze vyslo cislo ruzne od nuly, vektory nejsou komplanarni, tj. nelezi v jedne rovine.

Pokud pouzivate determinanty, lze cely vypocet usnadnit. Souradnice vektoru $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ zapiseme jako radky determinantu a urcime jeho hodnotu. Hodnota smiseneho soucinu je rovna hodnote vypocteneho determinantu...

Opet, stejny zaver. Vysla nenulova hodnota smiseneho soucinu, vektory nelezi v jedne rovine.

jelena · 25. 08. 2008 22:41 — Editoval jelena (25. 08. 2008 23:05)

↑ Jorica:

Zdravím Vás, Jorica :-)

Ještě přidám nudnou standardní středoškolsou cestu:

ze 3 bodů vytvořím rovinu (parametrický nebo obecný tvar, kdo co umí) a pak ověří, zda ten 4. bod patří do stejné roviny.

vektory použiji od Vás:

$\vec{AB}=B-A=(5, -4, 6)$
$\vec{AC}=C-A=(6, -8, 2)$

jsou lineárně nezávisle, můžeme použit do zadání roviny

Parametrický tvar:

x= -2 + 5t +6s
y= 3 - 4t -8s
z = -1+ 6t +2s

Ted ta x, y, z dosadime souřadnice bodu D:

0= -2 + 5t +6s
-4= 3 - 4t -8s
-4 = -1+6t +2s
------------------
2=5t+6s
-7=-4t-8s
-3=6t+2s
-----------
11=-13t
-19=20t
----------
Jelikož vychází odlíšné t z 1 a z 2 rovnice, usuzujeme, že bod D neleží v jedné rovině s A, B, C.

teď ještě musím překontrolovat své výpočty (sčítání mi dělá problém :-)

Může to tak být?

Jorica · 25. 08. 2008 22:58

↑ jelena:
Jeleno, taky moc zdravim a dekuji za pripomenuti stredoskolskeho postupu. Je hrozne, jak clovek nektere veci z hlavy vytesni, pokud se nauci "jednodussi" postup :-o
Ale nekde v hlouby mozkovych zahybu to tam je.....pomalu se to po precteni Vaseho prispevku dere na povrch :-)))

jelena · 25. 08. 2008 23:17

↑ Jorica:

No já Vám řeknu, to jsou tak nezbytné a potřebné věci pro život, uznejte :-):-):-)

Matematické Fórum

#1 22. 08. 2008 13:25

Vektory

#2 22. 08. 2008 13:38 — Editoval musixx (22. 08. 2008 14:09)

Re: Vektory

#3 22. 08. 2008 13:56

Re: Vektory

#4 22. 08. 2008 17:52

Re: Vektory

#5 22. 08. 2008 18:52 — Editoval O.o (22. 08. 2008 19:55)

Re: Vektory

#6 23. 08. 2008 16:12 — Editoval fox32 (23. 08. 2008 18:12)

Re: Vektory

#7 23. 08. 2008 16:37 — Editoval ttopi (23. 08. 2008 17:33)

Re: Vektory

#8 23. 08. 2008 17:15

Re: Vektory

#9 24. 08. 2008 19:32

Re: Vektory

#10 24. 08. 2008 19:59

Re: Vektory

#11 25. 08. 2008 18:54

Re: Vektory

#12 25. 08. 2008 21:57

Re: Vektory

#13 25. 08. 2008 22:41 — Editoval jelena (25. 08. 2008 23:05)

Re: Vektory

#14 25. 08. 2008 22:58

Re: Vektory

#15 25. 08. 2008 23:17

Re: Vektory

Zápatí