Matematické Fórum

lamnik · 03. 12. 2011 13:02

Dobrý den,
Nerozumím tomuto příkladu, páč si nedokáži představit co znamená "skládání na
osmiprvkové množině všech symetrií čtverce".

Děkuji za vysvětlení, popřípadě vyřešení příkladu k mému poznání.

Alesak · 03. 12. 2011 15:22

Ty symetrie se skládají tak, že nejdřív provedeš jednu, a pak na výsledek provedeš tu druhou. Například rotace o 90 a rotace o 90 ti dají rotaci o 180.

Lépe je to vysvětleno tady.

Andrejka3

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: omlouvám se, psala jsem, když nebyla odpověď

Alesak · 03. 12. 2011 15:46

↑ Andrejka3:
Tvoje vysvětlení je lepší. Než bych já ze sebe něco takového vysoukal, tak by se vrátila Haleyova kometa;)

lamnik · 03. 12. 2011 22:19

skládání je tedy rotace podle stupňů, ale je to i otáčení podle os stran? Bude se to řadit do té tabulky?

Andrejka3 · 03. 12. 2011 22:25

↑ lamnik:
Ne.
Úroveň 1: body čtverce
Úroveň 2: operace symetrie - zobrazení množiny $\{A,B,C,D\}$ na sebe samu.
Úroveň 3: skládání operací symetrie (binární operace mezi prvky z 2. úrovně)

Otáčení podle os stran je operace symetrie, tedy prvek 2. úrovně, stejně jako rotace.
Otáčení podle uhlopříček rovněž. Spíš bych to ale nazvala zrcadlení.

lamnik · 04. 12. 2011 11:44

?? Hm, takže mam dát do tabulky co?

Andrejka3 · 04. 12. 2011 11:49

Vypiš všechny symetrie. Napiš přesně co dělají.
Je skládání operací symetrie asociativní? Proč?
Zkoumej, co se děje, když složíš rotaci s rotací. Je skládání rotací komutativní?
Co je výsledkem složení rotací a zrcadlení? Je to komutativní?
Je skládání zrcadlení se zrcadlením komutativní? Vznikne zrcadlení nebo rotace?
Vždyť to je zajímavá hra.

Andrejka3

Ctverec
D C
A B
Rotace:
1) Identita $r_0$ .
Vysledek operace:
D C
A B
Zobrazuje tedy (horni radek jsou vzory, dolni prislusne obrazy)
A B C D
A B C D

2) rotace o 90 st. $r_{\pi/2}$
Vysledek operace
C B
D A
Tabulka:
A B C D
D A B C

3) rotace o 180 $r_{\pi}$
Vysledek operace
B A
C D
Tabulka:
A B C D
C D A B

Pozorovani: Kdyz ctu pismenka v kladnem smeru, zachova se poradi.
Pokracuj.

lamnik · 04. 12. 2011 12:30

↑ Andrejka3:
takže osmiprvkovou množinou se myslí 4 rotace (90°, 180°, 270°, 360°) a 4 zrcadlení (2 jsou osy stran a dvě jsou úhlopříčky), přičemž bych si to vždy zapsal jako takovou jednoduchou permutaci a pak ty dvě permutace mezi sebou násobil, abych dostal tu výslednou, tak to mam sestrojenou tabulku. (jupí)
Komutativní zákon bych zjistil, zda je to podle diagonály symetrický (nebo prostě stejný).
no a asociativní zákon bych si asi vypsal, tedy: rotace 1 = a; rotace 2 = b; zrcadlení 2 = c
a tedy (a.b).c = a.(b.c)
pokud by platil Komutativní zákon, nemusil bych to vyšetřovat i do sloupců, akorát se mi zdá, že to je moc konkrétní... Je to přímo na příkladu, i když pro můj účel, by to nemuselo vadit...
Neutrální prvek existuje, to je 360°.
Inverzní prvek by existoval, pokud by se na každém řádku tabulky objevovaly všechny prvky právě jednou?
Souhlasí toto všechno? či jsem mimo? Dík

Andrejka3 · 04. 12. 2011 12:33

no a asociativní zákon bych si asi vypsal, tedy: rotace 1 = a; rotace 2 = b; zrcadlení 2 = c
a tedy (a.b).c = a.(b.c)

Tady se nemusíme namáhat. Tvrzení, že skládání zobrazení je asociativní operace je "známé". Pokud ho neznáš, měl by sis ho v budoucnu dokázat obecně (stačí trochu výrokové logiky).

Neutrální prvek existuje, to je 360°.

Ano, super.
mmnt musím odskočit, vrátím se brzy.

lamnik · 04. 12. 2011 12:33

Stejně tak, bych postupoval i při zákonu krácení zleva. zprava, prostě bych si to dosadil...?
Dotaz: co jsou přirozený dělitelé? A takový přirozený dělitel čísla 6? Dík

lamnik · 04. 12. 2011 12:37

↑ Andrejka3:

Tvrzení, že skládání zobrazení je asociativní operace je "známé"

To znamená, že by to platilo i u 6ti úhelníku? či 8,12,14? Podmínka je či není, že jsou pravidelné?

Andrejka3 · 04. 12. 2011 12:45

↑ lamnik:
Myslím tím toto:
$A,B,C,D$ jsou množiny a $f : A \rightarrow B, \; g: B \rightarrow C, \; h: C \rightarrow D$ jsou zobrazení.
Pak plati
$(h \circ g) \circ f =h \circ (g \circ f)$

Andrejka3 · 04. 12. 2011 12:49

Vyšetři zvlášť komutativitu skládání mezi rotacemi.
Zamysli se nad inverzí rotace, třeba $r_{\pi/2}$ .

Zamysli se nad inverzí zrcadlení.
Je skládání zrcadlení komutativní?
Je skládání uzavřeno na podmnožinu rotací?
Je skládání uzavřeno na podmnožinu zrcadlení?

Ty inverzní prvky jsou jednoduché. Pokud neděláš chyby ve skládání.

lamnik · 04. 12. 2011 12:52

Aha, takže v pravidelném 8-mi úhelníku, pravidelném 13 úhelníku to taky bude platit? Nebo jen ve čtverci? V nepravidelných útvarech to nebude platit... To z toho chápu já... Správně?
Co jsou to přirozený dělitelé?

Andrejka3 · 04. 12. 2011 12:56

Aha, takže v pravidelném 8-mi úhelníku, pravidelném 13 úhelníku to taky bude platit? Nebo jen ve čtverci? V nepravidelných útvarech to nebude platit... To z toho chápu já... Správně?

Co přesně že nebude platit?

Přirozený dělitel celého čísla je jedna a to číslo samotné.

Mohl bys odpovědět na ty dílčí otázky... :)

lamnik · 04. 12. 2011 12:59

↑ Andrejka3:
inverzní k 90° je 270°
skládání zrcadlení není komutativní

Je skládání uzavřeno na podmnožinu rotací?
Je skládání uzavřeno na podmnožinu zrcadlení?

Tímto se myslí, jestli je nekonečno mnoho rotací? neni, takže to je uzavřený. ?
Stejně tak jestli, je nekonečně mnoho os, podle kterých se to dá zrcadlit? taky neni, takže je to uzavřený.

lamnik · 04. 12. 2011 13:02

↑ Andrejka3:
asociativní zákon jsem myslel

Andrejka3 · 04. 12. 2011 13:04

↑ lamnik:
Tím se myslí:
špatně jsem to formulovala, chtěla jsem napsat.
Je podmnožina rotací uzavřená na operaci skládání? Což znamená, když složíš dvě rotace, dostaneš rotaci?

Je podmnožina zrcadlení uzavřená na operaci skládání? Což znamená, když složíš dvě zrcadlení, dostaneš zrcadení?

Můžeš vyrobit vzoreček pro skládání rotací - ten je docela jednoduchý :)

Andrejka3

Ještě poznámka:
Mě by mohlo mást následující:
Když máme ten čtverec
_ _
_ _
tak ať tam jsou ta písmenka jakákoliv, tak třeba zrcadlení podle osy "uhlopříčka AC" $z_1$ vypadá takhle
*
*
*
*
No a jestli ses ptal jestli existují podobné příklady, tak ano. Každý pravidelný n úhelník má symetrie, které tvoří podobnou algebru jako ta od čtverce. Extrémní případ je pak kružnice.

lamnik · 04. 12. 2011 13:26

rotace a rotace dá vždy rotaci, to je uzavřená množina
ale to zrcadlení si nejsem jist, někdy mi vyjde že zrcadlení a zrcadlení mi dá rotaci...
to zrcadlení je možná jen podmnožina rotace?
vzorec pro rotaci... hmm
$R_x{} + R_y{} = R_(x+y){}$ $\forall x,y\in \mathbb{Z}_4{}$
$R_0{} = 360°$ ; $R_1{= 90°}$ ; $R_2{= 180°}$ ; $R_3{= 270°}$
Tak teď se cejtim :)

lamnik · 04. 12. 2011 13:29

tak ať tam jsou ta písmenka jakákoliv, tak třeba zrcadlení podle osy "uhlopříčka AC" vypadá takhle
*
*
*
*

tomuto nerozumím↑ Andrejka3:

Andrejka3

↑ lamnik:

vzorec pro rotaci... hmm
$R_x{} + R_y{} = R_(x+y){}$ $\forall x,y\in \mathbb{Z}_4{}$

Tak tak. Mohli bychom to upravit protože víme, že $r_{x + k2\pi}=r_{x} \; \forall k \in \mathbb{Z}, \forall x \in \{0,\pi/2 ,\pi 3\pi/2 \}$ na
$r_{y} \circ r_{x} = r_{(x+y) \mathrm{mod}(2\pi)}$ , kde "a mod (2pi)" je celociselny zbytek po deleni a/(2pi).
Ještě hezčí by to bylo, kdybychom prostě ty rotace označili:
$r_0,r_1,r_2,r_3$ , jako identitu, rot. o devadesat,...
Pak totiz by vzorecek vypadal
$r_{y} \circ r_{x} = r_{(x+y) \mathrm{mod}(4)}$
A to je jednoduché to je takové kolečko 0,1,2,3 (čísla si dáš do kolečka a posouváš se po nich) :)

Hledej nejdřív inverzi zrcadlení $z_1$ podle uhlopricky AC. (Preznacila jsem to z puvodni $z_0$ ).

EDIT: vsimla jsem si ze uz te napadnul izomorfismus algebry vsech rotaci ctverce s cyklickou grupou $\mathbb{Z}_4$

Andrejka3 · 04. 12. 2011 13:39

↑ lamnik:
Myslela jsem ten obrazek takhle: dejme tomu, ze chces provest slozeni: udelat rotaci o 90, pak udelat zrcadleni podle AC.
Postup: rotace o 90. No problem.
zrcadleni zrotovaneho. Podle jake osy mam zrcadlit? Podle nove osy AC (posunulo se to) nebo podle stare?
Odpoved: podle stare. V obrazku propoj ty hvezdicky a to jako mela byt primka ktera stoupa pod uhlem 45 stupnu, neboli stara uhlopricka AC v puvodnim ctverci
D C
A B

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2011 13:02

Lienární algebra - Binární operace (2)

#2 03. 12. 2011 15:22

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#3 03. 12. 2011 15:25 — Editoval Andrejka3 (04. 12. 2011 13:29)

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#4 03. 12. 2011 15:46

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#5 03. 12. 2011 22:19

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#6 03. 12. 2011 22:25

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#7 04. 12. 2011 11:44

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#8 04. 12. 2011 11:49

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#9 04. 12. 2011 11:56 — Editoval Andrejka3 (04. 12. 2011 11:56)

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#10 04. 12. 2011 12:30

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#11 04. 12. 2011 12:33

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#12 04. 12. 2011 12:33

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#13 04. 12. 2011 12:37

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#14 04. 12. 2011 12:45

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#15 04. 12. 2011 12:49

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#16 04. 12. 2011 12:52

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#17 04. 12. 2011 12:56

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#18 04. 12. 2011 12:59

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#19 04. 12. 2011 13:02

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#20 04. 12. 2011 13:04

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#21 04. 12. 2011 13:18 — Editoval Andrejka3 (04. 12. 2011 13:28)

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#22 04. 12. 2011 13:26

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#23 04. 12. 2011 13:29

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#24 04. 12. 2011 13:37 — Editoval Andrejka3 (04. 12. 2011 13:43)

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

#25 04. 12. 2011 13:39

Re: Lienární algebra - Binární operace (2)

Zápatí