Matematické Fórum

↑↑ Pavel Brožek:
Fajn, a máš taky pocit, že se všechny požadované vlastnosti této relace dokážou vhodnou volbou báze a jejím postupným doplňováním?

↑↑ Pavel Brožek:
Aha, takže vidím, že podprostory, které se "liší o konečný podprostor" jsou ekvivalentní.
Edit: Pokud předpokládáme, že existují dva kongruentní podprostory konečné dimenze
Edit: takže pokud existují dva kongruentní podprostory konečné dimenze, dokázali jsme, že všechny podprostory jsou kongruentní a je jen jedna třída ekvivalence.
Edit: chaos.. Chtěla jsem napsat, že vidím ty světy nějak rozděleně - třídy nekonečně dimenz. podprostorů lišící se o konečný podprostor + třída konečných podprostorů... Počkám, co vás napadne, protože mě to evidentně nejde.

Budeme si kreslit :-). Nakreslíme si Vennův diagram (popíšu ho dále, jen dopředu upozorňuji, že např. symbol značí pouze tu oblast, ve které je zapsaný, nikoliv celou elipsu, stejně tak pro ostatní symboly).



Mějme tři podprostory , které si označíme . V podprostoru si zvolím bázi a označím ji . Tu doplním na bázi prostoru pomocí vektorů . Podobně pro a . Každé dvě množiny jsou lineárně nezávislé (kdyby např. existoval nenulový takový, že , pak , a a tedy i , což je spor s tím, jak jsme doplňovali vektory ).

Stejně tak doplním množinu vektorů na bázi pomocí množiny vektorů . Podobně pro báze a . Tohle je obecný postup, jak budu hledat vhodnou bázi, když dostanu tři podprostory . Teď se pustím do důkazu, že ↑↑ popsaná relace: je kongruence.

Že je relace symetrická a reflexivní je celkem triviální. Ukažme, že je tranzitivní. Nechť , . Sestrojme bázi podle výše popsaného postupu. Z plyne, že a jsou konečné množiny, tedy všechny množiny jsou konečné. Z plyne, že a jsou konečné množiny, tedy množiny jsou také konečné. Jsou proto konečné i množiny a , z čehož plyne . Relace je tranzitivní, takže to je ekvivalence.

Zbývá ukázat, že je kongruence. Nechť platí . Chceme ukázat, že potom pro libovolný platí 1) a 2) .

Opět si sestrojme bázi podle popsaného postupu. Dle předpokladu jsou množiny a tedy i konečné.

1) a . Z toho vidíme, že a jsou konečné a tedy .

2) , , z toho a , ty jsou konečné, takže .

Máme tak kongruenci . Rozeberme nyní dva případy:

a) má konečnou dimenzi. Pak jsou zřejmě v všechny podprostory kongruentní a je proto nevlastní kongruence. To jsme také čekali, protože máme důkaz, že pro prostory konečné dimenze je jednoduchý.
b) má nekonečnou dimenzi. Pak v naší kongruenci platí a (kde je nějaký vektor z ) a tedy je vlastní kongruence. Proto pro prostor nekonečné dimenze není jednoduchý.

Díky všem!

↑ Andrejka3:

Máš pravdu, opravil jsem to.

↑ Andrejka3:

Také si teď nejsem jistý tím, jestli takhle ty báze můžu sestrojit. Vycházel jsem z toho, že každý vektorový prostor má bázi (to je podle internetu ekvivalentní axiomu výběru, takže je to rozumný předpoklad) a že každá lineárně nezávislá množina jde doplnit na bázi (tímto si nejsem pro nekonečněrozměrné prostory jistý). Myslím, že za těchto předpokladů by konstrukce měla být správná.

Množina je lineárně nezávislá, pokud je lineárně nezávislá každá její konečná podmnožina.

Tady je důkaz toho, že každý vektorový prostor má bázi. Mírně ho upravím (opravdu minimálně, jde spíš jen o překlad a trochu jsem změnil značení, které se mi místy zdálo zavádějící) – budu dokazovat tvrzení, že každá lineárně nezávislá množina lze doplnit na bázi.

Nechť je vektorový prostor, nechť je množina lineárně nezávislých vektorů z a nechť je množina všech množin lineárně nezávislých vektorů takových, že ( je neprázdná, protože ). Na množinách máme částečné uspořádání .

Každý řetězec je shora omezený . je lineárně nezávislá množina, protože každá konečná podmnožina musí být obsažena v nějaké množině z . Zároveň je zřejmé, že , je tedy . Podle Zornova lemmatu tak existuje alespoň jeden maximální prvek .

Pro spor předpokládejme, že negeneruje . Pak existuje nějaký , který nemůže být zapsán jako konečná lineární kombinace vektorů z . Z toho ovšem plyne a , což je spor s maximalitou .

Proto generuje a je zároveň lineárně nezávislá množina, je tedy i bází, která je nadmnožinou .

Dobrý den, všichni.
Pár slov autora sbírky:

Obe reseni jsou
spravne. To konecne dimenzionalni reseni je presne tak, jak bych to
delal taky. Na nekonecnou dimenzi jsem asi pri zarazovani prikladu
zapomnel, opravim to.

Mám z toho radost. Děkuji.