Matematické Fórum

Zbyšek · 23. 08. 2008 15:11

Zdravím, moc by mi pomohlo pokud by někdo vypočítal tyto tři příklady.Učivo o absolutních hodnotách jsem vynechal z přípravy, abych se pořádně naučil ostatní látku.Díky

1) $x^2-3|x-3|\le19$

2) $|x^2-2x-15|=9-4x$

3) $3|4-2x|-8x+1>2|5x+5|$

ttopi · 23. 08. 2008 16:25

Nejsem si úplně jistý korektností, ale tu 1) jsem řešil takto:

Napíšu si, jakých hodnot nabývá nerovnice pro kladná x a pro záporná x.
Víme, že $|x|=x ;x>0 \nl |x|=-x ; x<0$

Pro $x>0$ dostáváme $x^2-3(x-3)-19\le0 \nl x^2-3x-10\le0$
Přes diskriminant vypočítám kořeny takové, aby byla levá strana rovna 0. Vyjde mi $x_1=5 \nl x_2=-2$ .
To mi rozdělí interval $(-\infty;+\infty)$ na intervaly $(-\infty;-2>$ , $<-2;5>$ , $<5;+\infty)$ .
Z každého intervalo su vyberu jedno číslo a dosadím ho, zapíšu si výsledek.

pro x=-3 je levá strana rovna 8, tedy není menší než 0.
pro x=0 je levá strana rovna -10, tedy je menší než 0.
pro x=10 je levá strana rovna 60, tedy není menší než 0.

Takže řešením je interval $<-2;5>$ protože oba krajní body jsou řešením nerovnice.

Pak ještě musím vyřešit tu část, kdy je $x<0$ .
Dostávám $x^2-3(-x+3)-19\le0 \nl x^2+3x-28\le0$

Opět přes diskriminant počítám kořeny. Zaokrouhleně vyjde $x_1=4 \nl x_2=-7$

Dostávám tedy intervaly $(-\infty;-7>$ , $<-7;4>$ , $<4;+\infty)$

Opět si z každého vyberu číslo a dosadím.

Pro x=-20 je levá strana rovna 312, tedy není menší než 0.
Pro x=2 je levá strana rovna -18, tedy je menší než 0.
Pro x=5 je levá strana rovna 12, tedy není menší než 0.

Řešením této části je interval $<-7;4>$

Řešením celého příkladu je pak sjednocení obou dílčích řešení. Tedy
$<-2;5> \cup <-7;4> = <-7;5>$

O.o · 23. 08. 2008 17:03 — Editoval O.o (24. 08. 2008 00:42)

K té trojce.

3|4-2x|-8x+1>2|5x+5|
NB: x=2 x=-1 NB - Nulové Body; získáš je z absolutních hodnot

___<-oo; -1>___,___(-1; 2>___,___(2; oo)____ Osu si podle NB rozdělíš na tři části. Závorky dej jak chceš, jen dej pozor, aby jedno číslo nebylo ve dvou
intervalech (tzn. (-oo; -1> a druhý interval by byl <-1;2) - to je špatně, -1 nemůže být ve dvou intervalech
zároveň

_______|_<-oo; -1>_|_(-1; 2>_|_(2; oo)_|
|4-2x| | 4-2x | 4-2x | -4+2x | Z každého intervalu si doplníš nějaké číslo (ne krajní, pokud možno, to by tě zblblo) za neznámou
-------------------------------------------------| a podle toho, jestli ti pak vyjde kladné nebo záporné číslo, změníš znaménka do tabulky (princip
|5x+5| | -5x-5 | 5x+5 | 5x+5 | určitě pochopíš, když se mrkneš na tabulku a zkusíš si doabsolutních hodnot, za neznámou, něco doplnit
-------------------------------------------------|

Výpočet pro I. interval (-oo; -1>:

3(4-2x) - 8x + 1 > 2(-5x-5)
x<23/4
<-----------------------o 23/4 Nakreslíš si interval pro x<23/4 a poté interval I., tj. (-oo;-1>. Protože tento výpočet probíhá právě v tomto
<----------------@ -1 intervalu, tudíž výsledek musí být z tohoto intervalu (kdyby nebyl, tak průnik množiny (viz. níže v TeXu)
by byla prázdná množina). Poté stačí udělat jen průnik těchto dvou intervalů. Obdobně pokračuješ ve
zbylých dvou intervalech.

$x \in (-\infty ;\frac{23}{4}) \cap (-\infty;-1> \ => \ P_1=(-\infty; -1>$

Výpočet pro II. interval (-1; 2>:

3(4-2x) -8x +1 > 2(5x+5)
x<1/8
<----------------o 1/8
-1 o-----------------@ 2

$x \in (-\infty ; \frac{1}{8}) \cap (-1;2> \ => \ P_2=(-1; \frac{1}{8})$

Výpočet pro III. interval (2; oo):
3(-4+2x) - 8x + 1 > 2(5x+5)
x<-7/4
<----------------o -7/4
2 o------------------>

$x \in (-\infty; -\frac{7}{4}) \cap (2; +\infty) \ => \ P_3= \emptyset$

Výsledek: Konečné řešení je sjednocení všech tří množin řešení každého intervalu.

$P=P_1 \cup P_2 \cup P_3 = (-\infty;-1> \cup (-1; \frac{1}{8}) \cup \emptyset = (-\infty; \frac{1}{8})$

EDIT:
Možná jsem někde udělal chybu, protože do tohohle okna a současně do toho texu je to trochu bordel počítat..
Další příklady si spočítej sám, a? si to ozkoušíš. Tady jsem ti chtěl jen ukázat, jak na to.

ttopi · 23. 08. 2008 17:25

↑ O.o:
Jenom takovou věc jsem si teď uvědomil. Jestliže číslo je řešením problému, tak když rozděluješ interval $(-\infty;+\infty)$ na dílčí, tak ono číslo musí být v intervalech, kde je krajním bodem s $<$ respektive s $>$ protože v obou intervalech je řešením.

O.o · 23. 08. 2008 21:28

↑ ttopi:
Hi :),
asi už je pozdě, ale vůbec nevím o co v té poslední poznámce s rozdělením nekonečna myslíš?
Díky moc .)

ttopi · 23. 08. 2008 21:31

To je to, cos udělal s tou -1 a 2 :-)

O.o · 23. 08. 2008 21:58

↑ ttopi:
no tam jsem ještě také došel, ale pak nějak nerozumím o co s tím šlo? Jako, že yb ta -1 měla být jak v prvním tak druhém intervalu? Nás to učili, takhle, takže jestli je to špatně, tak napiš a předělám to ;)

ttopi · 23. 08. 2008 22:03

Jde o to, že ty nevíš předem, který interval bude správný. A kdyby byl správný ten, kde je zrovna ( nebo ) a přitom by kraj intervalu byl řešením, tak je to pak špatně.

jelena · 23. 08. 2008 22:09

↑ O.o:

Učili dobře :-) člověk také nemůže být zároveň na 2 místech :-)

Jen na řádku "vypočet pro II. interval" - vypadlo uzavření u čísla 2 (spíše překlep, bych řekla)

↑ ttopi:

K řešení zadání 1 - nějak nemohu souhlasit s nalezením nulových bodu pro |x-3| - asi také překlep (uplně původní rozdělení intervalů by mělo byt na (-oo, 3> a (3, +oo) což docela mění situaci.

Také ještě spíše doporučení - pokud řešíme kvadratické nerovnice - ideální je si představit graf kvadratické funkce a interval, pro který je funkce pod osou x (zde je menší 0) a nad osou x - zde je větší 0. To je ale opravdu doporučení.

ttopi · 23. 08. 2008 22:19 — Editoval ttopi (23. 08. 2008 22:26)

↑ jelena:
Já to ale dělám trošku jinak, takže nepotřebuji znát 3 jako nulový bod.
Myslíš, že mám řešení špatně? Mě to vychází - oba krajní body jsou přesně na hraně a cokoli z vnitřku taky vyhovuje. čísla mimo můj interval pak ne, tak co je špatně?

$http://wood.mendelu.cz/math/maw/gnuplot/gnuplot.php?funkce=%28%28x%5E2%29-%283%2Aabs%28%28x-3%29%29%29%29-19&xmin=-8&xmax=8&ymin=-5&ymax=5&naturallog=1&logbase=exp(1)$

Z obrázku je snad evidentní, že můj interval <-7;5> je řešením :-)

jelena · 23. 08. 2008 22:35

↑ ttopi:

Navrhujes provést odstranění absolutní hodnoty |x-3| a nerovnice má vypadat takto:

$x^2-3(x-3)-19\le0 \nlx^2-3x-10\le0$ tato uprava vššak je možná pouze na intervalu od 3 do +oo, tj. tam, kde (x-3) je nezaporne a proto absolutni hodnotu "odstranujeme s + před závorkou"

pak rikas, že řešením nerovnice je interval <-2, 5> ovsem od -2 do 3 nemas povolenou upravu puvodni nerovnice - souhlasis?

ttopi · 23. 08. 2008 22:38 — Editoval ttopi (23. 08. 2008 22:40)

Už patrně vím, co myslíš. říkám, že lx-3l se dá psát jako x-3 když je x>0 ale správně má být, když je x-3>0, čili od 3 do +nekonečna.

Pak je mi ale divné, že výsledek mi vychází :-)

Od toho diskriminantu je to pak dobře. Takže jsem tam měl mít místo <-2;5> správně <-2;3> a (3;+nekonešno) ?

jelena · 23. 08. 2008 23:11

↑ ttopi:

Uznaš přece, že to, že výsledek vychází ještě není důkaz toho, že postup byl správný.

(chtěli jsme jit na náměsti, šli jsme opačnym směrem, ale pak jsme zabloudili a náhodou se dostali na náměsti :-)

Ted jsem neměla možnost promyslet, zda je tento protipříklad dostatečně důkazný, ale zkus (třeba i zitra, asi toho dnes už máte dost, měli jste tady spoustu řešení - patří vám spíše obdiv)

x^2-12*|x-3|>4 (ja na to ještě kouknu, jestli je dostatečně důkazný)

Zatim hezký zbytek večera :-)

ttopi · 23. 08. 2008 23:28

↑ jelena:

Skoro vždy platí pořekadlo, že "účel světí prostředky".
Ale uznávám, že zrovna v matematice je lepší držet se správných postupů.

Tobě přeju hezkej den (u tebe noc=den) :-)

ttopi · 23. 08. 2008 23:51 — Editoval ttopi (24. 08. 2008 00:51)

Ta 2) Nevím, jestli je tam opravdu to = chtěné nebo ne, ale budiž.

Nulový body jsou -3 a 5. Takže řeším intervaly $(-\infty;-3>$ , $(-3;5)$ a $<5;+\infty)$

V druhém intervalu vypadá absolutní hodnota jako $-x^2+2x+15$ a tedy $-x^2+2x+15=9-4x \nl x^2-6x-6=0 \nl x_1=3+\sqrt15 \nl x_2=3-\sqrt15$

Tedy pouze člen $x_2=3-\sqrt15$ je řešením.

V prvním a třetím intervalu vypadá absolutní hodnota jako $x^2-2x-15$ a tedy $x^2-2x-15=9-4x \nl x^2+2x-24=0 \nl x_1=4 \nl x_2=-6$

Druhý člen spadá do prvního intervalu, takže je řešením.

Takže řešením celého příkladu jsou 2 kořeny: $x_1=3-\sqrt15$ a $x_2=-6$

EDIT: Díky jeleně :-)

jeleno? :-)

jelena · 23. 08. 2008 23:58

↑ ttopi:

Pro 2?
nulový bod ještě (-3)

V absolutní hodnotě je kvadratická funkce, tedy s + se bude odstraňovat na (-oo, -3> U <5, +oo).
S minusem se bude odstraňovat na (-3, 5)

ttopi · 24. 08. 2008 00:23 — Editoval ttopi (24. 08. 2008 00:28)

A jo :-(
Tím pádem do řešení spadne i -6 :-)

Už jsem to zeditoval.

O.o · 24. 08. 2008 00:42 — Editoval O.o (24. 08. 2008 00:42)

↑ ttopi:↑ jelena:

Díky oběma, už jsem to editoval, byl to jen překlep (rpavděpodobně jsem moc krátce podržel alt) :)

Pokud už nic, tak zapadnu do psotele a všm dobrou noc..

jelena · 24. 08. 2008 00:44 — Editoval jelena (24. 08. 2008 00:47)

↑ ttopi:

Jen maly překlep v druhem řadku 1. odstranění (nemá byt už 15, ale to je detail :-)
$-x^2+2x+15=9-4x \nlx^2-6x-6=0$

Doufám, že kolega Zbyšek se vyzná v tomto diskusním kroužku, co jsme tady založili :-)

Спокойной ночи :-)

Pro O.o - psotele?? - není to nebezpečné? Dobrou :-)

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2008 15:11

Nerovnice s absolutní hodnotou.

#2 23. 08. 2008 16:25

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#3 23. 08. 2008 17:03 — Editoval O.o (24. 08. 2008 00:42)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#4 23. 08. 2008 17:25

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#5 23. 08. 2008 21:28

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#6 23. 08. 2008 21:31

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#7 23. 08. 2008 21:58

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#8 23. 08. 2008 22:03

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#9 23. 08. 2008 22:09

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#10 23. 08. 2008 22:19 — Editoval ttopi (23. 08. 2008 22:26)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#11 23. 08. 2008 22:35

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#12 23. 08. 2008 22:38 — Editoval ttopi (23. 08. 2008 22:40)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#13 23. 08. 2008 23:11

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#14 23. 08. 2008 23:28

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#15 23. 08. 2008 23:51 — Editoval ttopi (24. 08. 2008 00:51)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#16 23. 08. 2008 23:58

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#17 24. 08. 2008 00:23 — Editoval ttopi (24. 08. 2008 00:28)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#18 24. 08. 2008 00:42 — Editoval O.o (24. 08. 2008 00:42)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

#19 24. 08. 2008 00:44 — Editoval jelena (24. 08. 2008 00:47)

Re: Nerovnice s absolutní hodnotou.

Zápatí