Matematické Fórum

ameba · 24. 08. 2008 09:41

Dobré dopoledne,

pomáhám kamarádce s matematikou, ale samotnou mě překvapil jeden příklad: Určete intervaly monotonie a lokální extrémy funkce f(x) = 1 + x.tg(x). Mně to pořád nějak nevychází, respektive derivací (první i druhou) se vždycky dostanu k takovému tvaru, u kterého nejsem schopná určit, kdy je roven nule. Co vy? Nejde mi o výsledek, ale o postup.

Díky za případnou snahu.

kaja.marik · 24. 08. 2008 10:17

V citateli prvni derivace je neco jako x+sin(x)*cos(x), coz se da prepsat jako 1/2*(2x+sin(2x)) a dalo by se to vyresit treba graficky pomoci funkci y=sin(2x) a y=-2x. Jeden stacionarni bod potom jde videt a jde videt take, jestli jsou i nejake dalsi stac. body ....
----------------------------------
Ještě ptáci nedozpívali svou ranní modlitbu před východem slunce, když byl Kája vzhůru. První jeho pohled platil postrannímu stolku, pokrytému bílým ubrusem, na němž byly rozloženy jeho nové šatky, čapka, košilka jako bílý květ, nové punčošky a nízké střevíčky, také docela nové. Vzdychl si: „Řekl pan farář ve škole: ,Budete dělat dvojí přípravu k této důležité svátosti: duševní a tělesnou. Přední je ovšem ta duševní. S duší prostou i všedního hříchu přistoupíte k přijetí svátosti biřmování. Obleknete sváteční šatečky, budete čistě umyti a spořádáni, ani toho nezapomeňte!‘ Což, dušička už je připravena,“ myslí si Kája, „ale jak na sebe obleknu tamhle ty nové šatky, ani nevím, jestli to dobře odříkám. Radši bych si vzal ten všední kabátek a běžel bos.“

Marian · 24. 08. 2008 11:18 — Editoval Marian (24. 08. 2008 13:21)

↑ kaja.marik:Dá se to vyřešit velice elegantně. Není potřeba se snižovat ke slovům "něco jako, graficky, nejake" etc.

(1) Definiční obor je $D_f=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}I_k$ , kde $I_k:=\left (-\frac{\pi}{2}+k\pi ,\frac{\pi}{2}+k\pi \right )\qquad\forall k\in\mathbb{Z}$ .

(2) Funkce f(x) je jistě sudá.

(3 - edit.) Vypočteme-li první derivaci, bude $f^{\prime}(x)=\tan x+\frac{x}{\cos ^2x}$ . Pro $x\in\mathbb{R}^+$ ale platí
$f^{\prime}(x)=\tan x+\frac{x}{\cos ^2x}>0\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin t+t>0\quad\forall t>0.$
Poslední nerovnost ale zjevně platí, tedy funkce je rostoucí na všech intervalech $\mathbb{R}^+\cap I_k,\quad k\in\mathbb{N}_0$ .
Využívaje sudosti funkce f(x), máme odtud také, že pro $\mathbb{R}^-\cap I_{-k},\quad k\in\mathbb{N}_0$ , je funkce klesající. Odtud plyne také konečně, že jediný extrém je v bodě x=0, ve kterém má funkce ostré lokální minimum.

(4) Intervaly konvexnosti a konkavnosti nebudou tak snadné, ale následující úvaha nebude moc bolestivá. Druhá derivace má tvar
$f^{\prime\prime}(x)=\frac{1+x\cdot\tan x}{\cos x^2}=\frac{f(x)}{\cos ^2x}.$
Zde to nebudu rozebírat dopodrobna. Je totiž vidět, že f''(x)>0 právě tehdy, když f(x)>0 a f''(x)<0 právě tehdy, když f(x)<0. Stačí tedy nalézt nulové body funkce f(x), které se nedají nalézt v explicitním tvaru. Pokud bychom je označili x_k, mohli bychom diskutovat podrobněji o znaménku funkčních hodnot, podobně jako v bodech (2) a (3). To už je snadné ale.

Kondr · 24. 08. 2008 12:28

Marian napsal(a):
... bude jistě x>0. Dohromady s faktem, že funkce tan(x) je na každém takovém intervalu I_k rostoucí to dává pro x<y nerovnost $x\cdot\tan x<y\cdot\tan y$

Je možné toto tvrdit i bez nalezení všech stacionárních bodů funkce? Nějak to v tom nevidím...

Marian · 24. 08. 2008 12:50 — Editoval Marian (24. 08. 2008 13:25)

↑ Kondr:
Už to vidím, neplyne to z toho (pravděpodobně) nějak/nijak. Funguje to jen pro některé hodnoty. Vypadá to ale, že jsem monotonii trefil. Sekce o konvexnosti a konkávnosti platí. Pokusím se o opravu, pokud to někdo nestihne dříve.

EDIT: Potvrdily se výsledky o monotonii funkce 1+x*tan(x), ale zdůvodnění nebylo správné. Již jsem to napravil.

Matematické Fórum

#1 24. 08. 2008 09:41

Intervaly monotonie a extrémy

#2 24. 08. 2008 10:17

Re: Intervaly monotonie a extrémy

#3 24. 08. 2008 11:18 — Editoval Marian (24. 08. 2008 13:21)

Re: Intervaly monotonie a extrémy

#4 24. 08. 2008 12:28

Re: Intervaly monotonie a extrémy

Marian napsal(a):

#5 24. 08. 2008 12:50 — Editoval Marian (24. 08. 2008 13:25)

Re: Intervaly monotonie a extrémy

Zápatí