Matematické Fórum

(1)
Pro délku u úhlopříčky v obdélníku platí . Protože u=13, je . Pro obvod o platí . Odtud , z čehož plyne To se dá zapsat také jako , odkud . Proto . Nyní stačí najít všechna řešení soustavy


(2)
Najdi si třeba na internetu pojem "středový úhel". Je to velice snadné. Dá se to spočítat i jinak (tedy bez pojmu středový úhel, ale nazval bych to řešení pomocí hrubé síly).

Zdravím vás :-)

K zadání 1 - nemám žádnou výhradu k samotnému návrhu od ↑ Mariana:, ale spíše doplnění - možná o něco více je dnešním středoškolakům dostupná cesta pomocí metody dosazovací:
z vyjádříme a dosadíme do .

Pozoruji, že práce se vzorcem ve smyslu použití úprav, jak navrhuje Marian, nebývá zažitá :-(

↑ Tom: čístě pro moji soukromou statistiku zadání - je to také na přijímací zkoušky na UHK? Děkuji :-)

Editace: moje tvrzení kolega Tom právě potvrdil, nebudu v tom dělat zmatek, nechávám vysvětlení Marianovi :-)

Doporučuju zkontrolovat tím, že součet úhlů v trojúhelníku je 180˚. (Tak přijdeš na to, že máš někde chybu). Jedné hodině odpovídá středový úhel 30˚, tedy obvodový 15˚. Všechny úhly ve výsledku vyjádřené ve stupních musí být proto dělitelné 15 (další kontrola).

Od 2 do 6 jsou 4 hodiny, tedy 60˚.
Od 6 do 11 je 5 hodin, tedy 75˚.
Od 11 do 2 jsou 3 hodiny, tedy 45˚.

↑ Tom:
No jo, to je ta dnesni mladez, ktera pouziva digitalky a pak ma problemy s cifernikem :-)))))

Tome, chyba se muze udelat vzdy, ale Kondr ti zde dal dobre rady jak si muzes letmo u techto typu prikladu zkontrolovat, zda nemas v reseni chybu.

Není mi jasné (z logického aspektu), co přesně je tím tajemným a nedá se pochopit. Měl to být jen náznak, o který jsem se snažil. Přidržím se své varianty, zbytek nech? má autor jako bonus k zamyšlení.

Pozorný čtenář okamžitě postřehnul, kde se vzal vztah vzal. Stačí se podívat na můj příspěvek, kde se vyskytlo číslo 289; předpokládám na druhou stranu, že vzorec je evidentní.

Takže podrobněji:

Úhlopříčka u má délku u=13, odkud . Pro délku úhlopříčky u platí vztah . Není možné si nevšimnout ze zatím získaných údajů vztahu . Toto je první zásadní vztah, který se týká délek stran hledaného obdélníku (které budu značit a a b).

V úloze je taktéž údaj o obvodu o. Vhodně jej z(a)pracujeme a získáme další vztah. Platí pro obvod obdélníku , přičemž je o=34, odkud jistě . Podělíme dvojkou a máme . To je druhý podstatný výsledek. Máme tak dvě rovnice tvořící nelineární soustavu, přesněji:

Tato soustava se dá řešit několikerým způsobem. Vysvětlím ten v mém příspěvku, který byl asi příliš opředen záhadou pro studenty SŠ. První rovnici soustavy umocním na druhou (levou a pravu stranu):

Po přihlédnutí k druhé rovnici, vypadá soustava nyní takto:

Odečtením těchto rovnic v pořadí (1)-(2) dostáváme:

To dosadím třeba do dříve získaného vztahu :

Vyřešíš kvadratickou rovnici a dostaneš a_1=5, a_2=12. Odtud dopočteš příslušející hodnoty b.


Způsob, který navrhuje jelena je jednodušší. Doporučuji se podívat na řešení nelineárních soustav dvou rovnic o dvou neznámých - hodí se to.

↑ Tom: Trojúhelník má tři vnitřní úhly . Součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°. To je  jedna z  vlastností trojúhelníka .  :-)