Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Součin se singulární maticí (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 05. 12. 2011 23:32
Součin se singulární maticí
Ahoj,
mohl byste mi prosím někdo poradit s úkolem:
Dokažte, že čtvercová matice A je singulární, právě když existuje nenulová čtvercová matice B splňující AB = 0...?
Napadlo mě jít na to přes součin determinantů, když má singulární nulový determinant, ale nevím, jestli to takhle vůbec lze... Jako že det A*det B = 0, právě když det A = 0...? Není to náhodou úplná blbost?:D Ono spíš jde o tu matici B, co?
Mimochodem - dá se nulová matice považovat za singulární..? Když je determinant nula a všechny řádky i sloupce jsou lin. závislé..?
Nebo to dokázat přes to, že ta singulární matice může mít libovolný řádek nebo sloupec nulový..?
Budu ráda za každou radu.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) nanny1)
#5 06. 12. 2011 09:00 — Editoval nanny1 (06. 12. 2011 09:36)
Re: Součin se singulární maticí
↑ FailED:
Tak teď jsem úplně vedle... Neplatí, že 1*0=0..? Moc prosím, mohl bys mi to přiblížit?
A co když jsou obě ty matice singulární, přece mi jejich součinem nutně nevyjde nula... Nejspíš jsem se vydala nesprávným směrem.:(
Nejspíš to mám dokázat tím, že libovolný sloupec nebo řádek může být nulový. Jenže mi tam pořád nějaký nenulový řádek nebo sloupec musí zbýt, ne? Tím pádem už výsledek nula nebude. Opravdu si s tím nevím rady..
Offline
#6 06. 12. 2011 10:31
Re: Součin se singulární maticí
Ahoj ↑ nanny1:,
mozes pouzit toto
http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible … Properties
Tu mas jednu cestu k rieseniu
A is invertible
is equivalent
the equation Ax = 0 has only the trivial solution x = 0.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#7 06. 12. 2011 12:17
- kaja.marik
- Veterán
- Příspěvky: 1915
- Reputace: 57
Re: Součin se singulární maticí
Anebo si rict, ze matice A je singularni prave tehdy kdyz radky (sloupce) jsou lin zavisle, to je prave tehdy kdyz se z nich da udelat nulovy vektor netrivialnim zpusobem. A tvoreni linearnich kombinaci je ekvivalentni nasobeni matici. Takze staci ty koeficienty nasypat do matice B a mam jeden smer - ten tezsi.
Offline
#8 06. 12. 2011 12:30 — Editoval vanok (06. 12. 2011 12:31)
Re: Součin se singulární maticí
↑ kaja.marik:
A singulierna
znamena
Ax = 0 ma netrivialne riesenie.
Ale tvoja myslienka sa da pouzit napr. pomocou hodnosti matice A
Vecer sa vratim tak napis tvoje vysledky, uvahy a ti odpoviem ak bude treba
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#9 06. 12. 2011 13:45
Re: Součin se singulární maticí
↑ nanny1:
Ahoj.
Místo věty
(I) čtvercová matice A je singulární, právě když existuje nenulová čtvercová matice B splňující AB = 0
můžeš dokazovat větu
(II) čtvercová matice A je regulární, právě když pro každou nenulovou čtvercovou matici B je i matice AB nenuolvá ,
která je zřejmě s větou (I) ekvivalentní (podle tautologie 
) a mně osobně připadá průhlednější.
Offline
#10 06. 12. 2011 14:57
- kaja.marik
- Veterán
- Příspěvky: 1915
- Reputace: 57
Re: Součin se singulární maticí
↑ vanok:
Zdravim, no ono je asi jedno jak tu singularnost nadefinuji. Vetsinou to znamena ze determinant je nula. Zatim sem nic podrobnejsi zatim psat neplanuju, pokud nebude potrebovat puvodni tazatel/ka :) Je tu nekolik navrhu na reseni. Aby se predeslo plytvani energii, budu cekat, jestli clovek co zalozil tohle tema zacne nejake tema rozvijet.
Offline
#11 06. 12. 2011 21:21 — Editoval nanny1 (06. 12. 2011 21:31)
Re: Součin se singulární maticí
Děkuju za vaše nápady, ale já se pořád nějak nechytám..:(
"Podle definice lineární závislosti (aplikované na sloupce A) existuje nenulový vektor x takový, že Ax=0." Znamená to, že ta regulární matice bude složená z vektorů x?
Ten důkaz pomocí determinantů by šel nějak použít nebo je to úplně mimo..?
"the equation Ax = 0 has only the trivial solution x = 0." Jasně, o tomhle jsem přemýšlela, ale pořád nevím, jak tam tu nulu dostat. Nulový řádek nebo sloupec může být kdekoliv, ale pořád tam musí být nějaký řádek/sloupec nenulový a tím je to v háji, nebo ne? Něco mi prostě uniká.
Offline
#12 06. 12. 2011 21:28 — Editoval vanok (06. 12. 2011 21:28)
Re: Součin se singulární maticí
↑ nanny1:,
Ax=0
znamena ze matica A vynasobena vektrom x(stlpcova matica) je vektor 0, pre kazde riesenie x rovnice Ax=0.
A veta co som napisal vysie znamena ze mas aspon jeden taky nenulovy vektor x.
Toto ti okamzite dava ze mozes vybrat ako maticu B , maticu v ktorej opakujes to nenulove riesenie v n stlpcoch....
STACI?
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Součin se singulární maticí (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)