Matematické Fórum

granit · 25. 08. 2008 06:29

prosím o na?uknutí $\frac{n!}{(n+1)!-n!}$ má to vyjít 0. Dělit čitatele i jmenovatele $n$ na něco takového $\frac{1!}{(1+\frac{1}{n})!-1!}$ a dále pak na $\frac{\lim 1!}{\lim (1+\frac{1}{n})!-\lim 1!}$ ? Omlouvám se, ale po ránu mě to dnes nějak nejde :(

Marian · 25. 08. 2008 07:11 — Editoval Marian (25. 08. 2008 07:12)

↑ granit:
To je hotová havárie, co se tam dějou za úpravy. Uvědom si, že neplatí (pro přípustné hodnoty) obecně
$(n+k)!\cdot\frac{1}{n!}=\limits^{*}\left (1+\frac{k}{n}\right )!.$
Stačí vzít třeba n=2, k=1, pak máš
$(2+1)!\cdot\frac{1}{2!}=\limits^{*}\left (1+\frac{1}{2}\right )!,$
přičemž levá strana je rovna přirozenému číslu $\frac{3!}{2!}=3\in\mathbb{N}$ , zatímco strana pravá se rovná $\left (\frac{3}{2}\right )!=\Gamma\left (\frac{5}{2}\right )=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\notin\mathbb{N}$ .

Úlohu počítáme pomocí základních úprav na SŠ, tedy
$\lim_{n\to\infty}\nosmash\frac{n!}{(n+1)!-n!}=\lim_{n\to\infty}\nosmash\frac{n!}{(n+1)\cdot n!-n!}=\lim_{n\to\infty}\nosmash\frac{n!}{n!\cdot\left (n+1-1\right )}=\lim_{n\to\infty}\nosmash\frac{1}{n}=\boxed{0}.$

granit · 25. 08. 2008 07:31

↑ Marian:
jo jo.. udělil jsem si pohlavek... a snad se mě i rozsvítilo :-) Díky

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2008 06:29

Limita posloupnosti n!

#2 25. 08. 2008 07:11 — Editoval Marian (25. 08. 2008 07:12)

Re: Limita posloupnosti n!

#3 25. 08. 2008 07:31

Re: Limita posloupnosti n!

Zápatí