Matematické Fórum

Olin · 26. 08. 2008 09:12

Prázniny už se sice pomalu chýlí ke konci, nicméně ještě přidám jeden příklad. Je sice docela jednoduchý, ale mučil jsem s ním naše vyučující docela dlouho.

Řešte v C:

$\sin z = 2$

z zapište v algebraickém tvaru (a+bi).

Pavel Brožek · 26. 08. 2008 09:49

↑ Olin:

Neuplynulo od zadání mnoho času, tak nebudu psát postup, a? ostatní mohou také řešit. Rovnici řeší

$z=\frac{\pi}{2}+2k\pi-\text{i}\cdot\ln(2\pm\sqrt3),\quad k\in\mathbb{Z}$

Pavel Brožek · 07. 09. 2008 19:23

Doplním postup:

$\sin z = 2\nl \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}=2\nl \mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}=4\mathrm{i}\nl \mathrm{e}^{2\mathrm{i}z}-1=4\mathrm{ie}^{\mathrm{i}z}\nl (\mathrm{e}^{\mathrm{i}z})^2-4\mathrm{ie}^{\mathrm{i}z}-1=0\nl \mathrm{e}^{\mathrm{i}z}=\frac{4\mathrm{i}\pm\sqrt{-16+4}}{2}=(2\pm\sqrt{3})\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\ln(2\pm\sqrt{3})+\frac{\pi}{2}\mathrm{i}}\nl \mathrm{e}^{\mathrm{i}z-\ln(2\pm\sqrt{3})-\frac{\pi}{2}\mathrm{i}}=1\nl \mathrm{i}z-\ln(2\pm\sqrt{3})-\frac{\pi}{2}\mathrm{i}=2k\pi\mathrm{i},\,k\in\mathbb{Z}\nl \mathrm{i}a-b-\ln(2\pm\sqrt{3})-\frac{\pi}{2}\mathrm{i}=2k\pi\mathrm{i},\,k\in\mathbb{Z}\nl (-b-\ln(2\pm\sqrt{3}))+(a-\frac{\pi}{2}-2k\pi)\mathrm{i}=0,\,k\in\mathbb{Z}\nl -b-\ln(2\pm\sqrt{3})=0\quad\wedge\quad a-\frac{\pi}{2}-2k\pi=0,\,k\in\mathbb{Z}\nl b=-\ln(2\pm\sqrt{3})\quad\wedge\quad a=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\nl z=\frac{\pi}{2}+2k\pi-\mathrm{i}\cdot\ln(2\pm\sqrt{3}),\,k\in\mathbb{Z}$

plisna · 08. 09. 2008 00:57

nebo lze pouzit primo vzorec, ktery se odvodi zpusobem, ktery ukazal BrozekP:

$sin z = w \qquad \Rightarrow \qquad z = \arcsin w = \frac{1}{\mathrm{i}} \log \left( \mathrm{i} w \pm \sqrt{1-w^2}\right) = \nl=\frac{1}{\mathrm{i}} \left( \ln \left|\mathrm{i} w \pm \sqrt{1-w^2}\right| + \mathrm{i} \left(\mathrm{Arg}\left(\mathrm{i} w \pm \sqrt{1-w^2}\right)+2k\pi\right)\right), \quad k \in \mathbb{Z}$

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2008 09:12

Prázdninová (goniometrická) rovnice

#2 26. 08. 2008 09:49

Re: Prázdninová (goniometrická) rovnice

#3 07. 09. 2008 19:23

Re: Prázdninová (goniometrická) rovnice

#4 08. 09. 2008 00:57

Re: Prázdninová (goniometrická) rovnice

Zápatí