Matematické Fórum

mr.rubik · 10. 12. 2011 14:05

Přeji příjemnou sobotu všem. Snažím se vyřešit následující příklad.

Lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty a kvazipolynomiální pravou stranou:

$a_{n+5}-4a_{n+4}-9a_{n+3}-16a_{n+2}-11a_{n+1}-6a_{n} = (n+1)6^{n}$

pro $n \ge -1$

1) Vyřešte odpovídající homogenní rovnici. Obecné řešení napište ve tvaru neobsahujícím komplexní čísla.
2) Najděte partikulární řešení.

Svůj postup bohužel neuvedu, poněvadž zatím žádný není. Nějak moc netuším, jak začít. Už do toho od včerejška koukám a nevím, jak to uchopit. Na co konkrétního bych se ale zeptal: u prvního bodu (řešení homogenní rovnice) stačí když za pravou stranu dosadím místo kvazipolynomu nulu? Nebo je třeba to ještě na homogenní tvar nějak převést? Je tam psáno "... odpovídající homogenní...". Mohl by mi, prosím, někdo nastínit začátek nebo odkázat někam, kde je něco podobného vysvětleno?

BTW: Výsledek by byla dobrá věc, ale píšu z téhle látky test, postup je tedy cennější.

PS: Ještě bych jen doplnil. Toto zadání není z VŠB, nicméně když jsem naposledy řešil příklad z diskrétky, bylo mi doporučeno ho sem umístit. Omlouvám se tedy, pokud toto doporučení již neplatí :)

Předem děkuji.

mr.rubik · 11. 12. 2011 18:53

Tak jsem odhalil část postupu. Pomocí sofistikovaného softwáre (jenž nám byl doporučen :) ) jsem přišel na to, že charakteristický polynom této rovnice jest:

$(x-6)(x^{2}+x+1)^{2}=0$

Reálné řešení:

$x = 6$

Komplexní řešení:

$x = -\sqrt[3]{-1}$ a $x = (-1)^{\frac{2}{3}}$

Což jsou vlastně kořeny. No a teď bych podle postupu z toho měl vydolovat obecné řešení přes bázi (nejspíš). Budu na tom nadále pracovat, pokud by někdo veděl, nestyďte se ozvat :D Konkrétně bych potřeboval - dle zadání - napsat to obecné řešení bez komplexních čísel.

vanok · 14. 12. 2011 22:30

Ahoj ↑ mr.rubik:,
Tie korene sa daju "krajsie" vyjadrit
Mohol by si zacat riesit
$x^{2}+x+1=0$

Kondr · 18. 12. 2011 18:18

↑ vanok: Pro dořešení se nám hodí spíše tvar $x_1=|x_1|e^{\omega i\pi}$ , k tomu má myslím kolega nakorčeno dobře (pak už se jen použije kuchařka).

↑ mr.rubik: Bez komplexních čísel to --pokud vím -- nepůjde, ale ve skriptech určitě najdeš, že když jsou kořeny $r_1, r_2, .. ,r_n$ reálné (různé) a $x_1 e^{\omega_1 i\pi},x_2e^{\omega_2i\pi},...,x_me^{\omega_m i\pi}$ komplexní (různé) a $x_i$ jsou jejich absolutní hodnoty, pak je obecné řešení tvaru
$a_k=A_1r_1^k+A_2r_2^k+\cdots+A_nr_n+B_1x_1 \sin(k\omega_1+C_1)+B_2x_2 \sin(k\omega_2+C_2)+\cdots+B_mx_m \sin(k\omega_m+C_m)$
(pokud jsou kořeny jednonásobné, jsou A, B, C konstanty, pro násobné kořeny jsou A,B polynomy proměnné k, C opět konstanty). Doufám, že toto je ten krok, který hledáš, tj. jak se zbavit komplexních čísel. Vyjádřit kořeny tvého polynomu v exponenciálním tvaru jistě zvládneš.

mr.rubik · 18. 12. 2011 22:18

Díky za pomoc. Výsledek a postup sem bohužel dát nemohu, protože jsem úkol už odevzdal a zapomněl jsem si ho opsat... Znovu se mi to řešit nechce :) Každopádně ještě jednou děkuji.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2011 14:05

Lineární rekurentní rovnice

#2 11. 12. 2011 18:53

Re: Lineární rekurentní rovnice

#3 14. 12. 2011 22:30

Re: Lineární rekurentní rovnice

#4 18. 12. 2011 18:18

Re: Lineární rekurentní rovnice

#5 18. 12. 2011 22:18

Re: Lineární rekurentní rovnice

Zápatí